4. Графическая репрезентация элементов структурного анализа.

Математической основой анализа конфликтных и бесконфликтных структур служит теория графов, создателем которой является петербургский математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер (1707—1783). Создание этой теории относят к 1736 г. В ее терминах можно эффективно моделировать конфликтные структуры с любым числом субъектов и связей между ними и делать на основе полученной модели множество общезначимых и достоверных заключений о его свойствах.

Теория графов – раздел математики, изучающий свойства и преобразования структур, состоящих из непустого множества вершин (объектов, элементов) и соединяющих их ребер (отношений).

Граф G = (Х, Y) — структура, состоящая из конечного множества вершин Х = {А, В, С,...} и множества ребер (неупорядоченных линий) Y = {АВ, ВА, АС,...}.

В теории графов элементы структур принято называть вершинами, упорядоченные (асимметричные) отношения — дугами, неупорядоченные (симметричные) отношения — ребрами, структуру — графом (диграфом).

Вершины графа обозначают объекты произвольной природы, ребра — неупорядоченные (симметричные) отношения между анализируемыми объектами. Граф можно рассматривать как структурную модель системы с симметричными отношениями.

Диграф (направленный, ориентированный граф) D = (Х, Y) есть граф, все или некоторые дуги которого упорядочены. Диграф — разновидность графа и используется для моделирования систем с симметричными и асимметричными отношениями. В диграфах прямые и обратные линии считаются различными, или упорядоченными. В паре АВ первым элементом является А, в паре ВА первым элементом является В. Таким образом, для диграфов в общем случае выполняется неравенство: АВ ≠ ВА.

Как графы, так и диграфы могут символизировать структуры с означенными отношениями. Для этого достаточно, чтобы по крайней мере одна из их линий обозначала позитивное или негативное отношение. По определению, отношение безразличия (независимости) означает, что между соответствующими вершинами нет ни прямой, ни обратной связи. Поэтому его следует интерпретировать как знак отсутствия всяких отношений между вершинами.

Означенный граф (диграф) — граф (диграф), все или некоторые ребра (дуги) которого обозначены как положительные (позитивные), а остальные как отрицательные (негативные).

Цикл графа (диграфа) — множество линий графа (диграфа) вида АВ, ВС... MN, вместе с линией, соединяющей вершины N и А, в котором вершины А, В, С... N различны. Длина цикла измеряется числом образующих его (без повторения) линий — ребер и дуг. Понятия цикла достаточно для моделирования конфликтов в структурах с симметричными отношениями. Чтобы моделировать конфликты в структурах как с симметричными, так и асимметричными отношениями, вместо понятия цикла используется более общее понятие полуцикла.

Полуцикл диграфа — цикл диграфа, образованный взятием ровно по одной линии из каждой пары АВ или ВА, ВС или СВ... из множества всех его возможных линий. Принципиальное различие между циклом и полуциклом диграфа, интерпретируемое графически, состоит в том, что в цикле все дуги направлены в одну сторону, а в полуцикле они могут быть направлены в произвольную сторону. Двигаясь по линиям цикла от произвольно выбранной вершины, мы всегда через некоторое число линий к ней же и вернемся; в случае полуцикла такой возврат в общем случае не гарантируется. Из сказанного ясно, что каждый цикл является полуциклом, но обратное в общем неверно. Каждый полуцикл длиной 2 представляет цикл.

Знак цикла графа (цикла, полуцикла диграфа) равен произведению знаков его линий, который вычисляется согласно правилам для умножения отношений. Означенный цикл (полуцикл) бесконфликтен, если его знак равен «+», и конфликтен, если его знак равен «−». Означенный граф (диграф) бесконфликтен, если и только если все его циклы (полуциклы) бесконфликтны, и конфликтен в противном случае.