Степенная функция: y=a x^m

Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x

Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u

Получим функцию v = A u + B

2. Показательная функция: y=a e^mx Прологарифмируем: ln y = ln a + m x

Замена:		m = A,	ln a = B			ln y = v		x = u
Получим функцию			v = A u + B
3. Дробно-линейная функция:				1
				y 
						ax  b
Откуда	1	 ax  b
	y

Замена: a = A, b = B

Получим функцию v = A u + B

4. Логарифмическая функция: y=a ln x + b

Замена: a = A, b = B y = v

Получим функцию v = A u + B

5. Гипербола: y  ^a_x  b

Замена:

a = A,

b = B

y = v

Получим функцию

v = A u + B

6. Дробно-рациональная функция:

y 

x

ax  b

Откуда:

1



ax  b

;

1

 a 

b

y

y

x

x

Замена:

a = B,

b = A

1

 v

y

Получим функцию

v = A u + B

ln x = u

¹_x  u

¹_x  u

Программа нахождения уравнения регрессии методом наименьших квадратов:

program lin_regr; { *** Уравнение регрессии *** }

const p=30;

var x,y,u,v: array [1..p] of real;

i,j,n,k,m: byte;

d,a,b,s,s1,s2,s3,s4: real;

begin

Write('Введите N - число пар таблицы - ');Readln(N); Writeln('Введите попарно координаты точки X Y - ');

41

For i:=1 to n do readln(x[i],y[i]);

Repeat

Writeln('Выберите вид уравнения регрессии,'); Writeln(' параметры которого хотите рассчитать');

Writeln('1) y = A * x + B 2) y = A * x^M 3) y = A * exp(M * x)');

Writeln('Введите номер выбранного варианта - '); Readln(k);

s1:=0; s2:=0; s3:=0; s4:=0;

For i:=1 to n do

begin

case k of

1. begin U[i]:=X[i]; V[i]:=Y[i] end;

2. begin U[i]:=ln(X[i]); V[i]:=ln(Y[i]) end;

3. begin U[i]:=X[i]; V[i]:=ln(Y[i]) end;

end;

s1:=s1+U[i]; s2:=s2+v[i];

s3:=s3+U[i]*V[i]; s4:=s4+U[i]*U[i]

end;

D:=N*s4-sqr(s1);

A:=(N*s3-s1*s2)/d; B:=(s4*s2-s1*s3)/d;

s:=0;

Writeln(' Y[i] V[i] (Y[i]-V[i])^2 S');

For i:=1 to n do

begin V[i]:=A*U[i]+B;

if (k=2) or (k=3) then V[i]:=exp(V[i]);

s:=s+sqr(Y[i]-V[i]) ;

writeln(y[i]:10:6,V[i]:15:6,sqr(y[i]-v[i]):15:6,' s=',s:10:6)

end;

Writeln('Уравнение линии регрессии');

case k of

1. Writeln('y = ',A:10:6,' * x + ',B:10:6);

2. Writeln('y = ', exp(B):10:6,'* x^',A:10:6);

3. Writeln('y= ', exp(B):10:6, '*exp(',A:10:6,'*X)');

end;

Writeln('Если хотите использовать другой вид уравнения регрессии,'); Write('введите 1 , иначе 0 - '); Readln(m); Until m=0;

end.

{ Для нелинейных уравнений вводят линеаризацию следующим образом:

1) для степенной функции y=ax^m: ln(y)=ln(a)+m•ln(x);

ln(y)=Y, m=A, ln(a)=B, ln(x)=X.

Получаем Y=AX+B.

2) для показательной функции y=a•e^mx, a>0: ln(y)=ln(a)+mx;

ln(y)=Y, ln(a)=B, m=A.

Получаем Y=Ax+B.

42

3. для дробно-линейной функции y=1/(ax+b): перепишем ур.: 1/y=ax+b;

1/y=Y.

Получаем Y=ax+b.

3. для логарифмической функции y=a•ln(x)+b: ln(x)=X.

Получаем y=aX+b.

3. для гиперболической функции y=(a/x)+b: 1/x=X.

Получаем y=aX+b.

3. для дробно-линейной функции y=x/(ax+b): перепишем ур.: 1/y=a+(b/x);

1/y=Y, a=B, 1/x=X, b=A.

Получаем Y=AX+B.

Для заданного набора данных (x_i, y_i) рассматривают несколько зависимостей и

выбирают такую, где функционал F меньше остальных.

Далее МНК применяем также как и к линейной функции:

Покажем как найти min F=∑_i=1ⁿ(φ(x_i)–y_i)²; для лин. функ.: φ(x)=ax+b – лин. функ.

Задача, найти a и b так, чтобы F(a, b) достигала min.

F(a, b) – функ. двух переменных, необходимое условие экстремума (в данном случае min) – равенство 0 частных производных.

Составим: F(a, b)=

∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b))²;

Условие минимума: ∂F/∂a=0 и ∂F/∂b=0;

Сист. двух ур. с двумя неизвестными a и b (такая система наз. нормальной) (метод наименьших квадратов МНК).

∂F/∂a=–2∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b))x_i;

∂F/∂b=–2∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b));

таким образом сист. норм. ур. запишется в виде:

{∑_i=1ⁿ(y_i–ax_i–b)x_i=0;

|∑_i=1ⁿ(y_i–ax_i–b)=0;

{∑_i=1ⁿy_ix_i–a∑_i=1ⁿx_i²–b∑_i=1ⁿx_i=0;

|∑_i=1ⁿy_i–a∑_i=1ⁿx_i–nb=0;

Введём обозначение:

M_x=(1/n)∑_i=1ⁿx_i;

M_y=(1/n)∑_i=1ⁿy_i;

M_xy=(1/n)∑_i=1ⁿy_ix_i;

M_x2=(1/n)∑_i=1ⁿx_i²;

Система запишется:

{aM_x2+bM_x=M_xy;

|aM_x+b=M_y;

a=(M_xy–M_xM_y)/(M_x2–(M_x)²);

b=(M_x2M_y–M_xM_xy)/(M_x2–(M_x)²);}

43

25. Аппроксимация производных. Погрешность численного дифференцирования.

44

Пусть функ. задана таблично:

x x₁ … x_n

y y₁ … y_n

y=f(x);

Из определения y’=f’(x)=lim_∆x→0(∆y/∆x)=lim_∆x→0( (f(x+∆x)–f(x))/∆x );

y’(x)≈(f(x+∆x)–f(x))/∆x=(y₂–y₁)/∆x;

(y₂–y₁)/(x₂–x₁)=tg(α);

y’(x₁)≈tg(α), где α – угол наклона касательной в точке x₁.

Частный случай.

Будем считать, что таблица есть результат табулирования некоторой заданной функции y=f(x) т.е. y_i=f(x_i), i=0, 1, 2, …, n.

Будем считать x_i–x_i-1=const=h. В зависимости от способа вычисления рассматривают различные приближения производных.

Если: ∆y₁=y₁–y₀, где y₁=f(x₀+h), то y’₁≈(y₁–y₀)/h; (1) – левая разность.

Если: ∆y₁=y₂–y₁, то y’₁≈(y₂–y₁)/h; (2) – правая разность.

Если: ∆y₁=y₂–y₀, то ∆x=2h и y’₁≈(y₂–y₀)/(2h); (3) – центральная разность.

Всё это аналоги производной в точке x₁.

Для старших производных имеем:

45

y’’₁=(y’₁)’≈(y’₂–y’₁)/h=( ((y₂–y₁)/h)–((y₁–y₀)/h) )/h=(y₂–2y₁+y₀)/h²; (4)

Аналогично находятся производные любого порядка.

Погрешность численного дифференцирования (формулы (1)...(4)).

Пусть функ. f(x) аппроксимируется (приближается к некоторой функции φ(x)) т.е. f(x)=φ(x)+R(x); (5)

где R(x) – погрешность аппроксимации.

из (5) имеем: f’(x)=φ’(x)+R’(x), f’’(x)=φ’’(x)+R’’(x) и т.д.

т.е. формула (5) может быть использована и для вычисления погрешности

производных.

Вел. R^(k)(x)=f^(k)(x)–φ^(k)(x) наз. погрешностью аппроксимации. Она зависит от шага h. Запишем её в виде O(h^k)(~Ch ^k). Показатель k наз. порядком погрешности аппроксимации производной. Для оценки порядка погрешности используем формулу Тейлора:

f(x+∆x)=f(x)+(f’(x)/1!)∆x+(f’’(x)/2!)(∆x)²+…; (6)

∆x=h;

Пусть функ. задана таблично y_i=f(x_i), i=0, 1, …, n. В формуле (6) будем учитывать слагаемое до порядка h².

Пусть x=x₁; ∆x=–h.

Запишем (6):

f(x₁–h)=f(x₁)+(f’(x₁)/1!)h+O(h²); (7)

Получим:

f’(x₁)h=f(x₁)–f(x₀)+O(h²);

делим на h:

y’1=((y1–y0)/h)+O(h), сравнивая с (1) получаем, что погрешность аппроксимации левой производной имеет первый порядок. Аналогично можно показать, что формула

2. так же имеет первый порядок.

Теперь положим в (6) ∆x=–h и ∆x=h и будем учитывать слагаемое до h⁴. y₀=y₁–y’₁h+(y’’₁/2!)h²–(y’’’₁/3!)h³+O(h⁴); y₂=y₁+y’₁h+(y’’₁/2!)h²+(y’’’₁/3!)h³+O(h⁴);

Вычтем из второго выражения первое:

y₂–y₀=2y’₁h+(1/3)y’’’₁h³;

делим на 2h:

(y₂–y₀)/(2h)=y’₁+O(h²);

т.о. центральная разность (3) имеет порядок аппроксимации второй.

Из двух предыдущих разложений, складывая, получим:

y’’₁h²=y₀–2y₁+y₂+O(h⁴);

делим на h² получили:

y’’₁=((y₀–2y₁+y₂)/h²)+O(h²);

Порядок аппроксимации для формулы второй производной равен двум.

46

26.Использование интерполяционных формул.

Предположим, что функ. задана с помощью таблицы, где x меняется с постоянным шагом h. Используем интерполяционный многочлен Ньютона, для приближения функции.

y≈P(x₀+ht)=y₀+t∆y₀+(t(t–1)/2!)∆²y₀+...+(t(t–1)...(t–n+1)/n!)∆ⁿy₀; t=(x–x₀)/h;

Имеем:

dP/dx=(dP/dt)(dt/dx)=

(1/h)(dP/dt);

y’≈(1/h)(∆y₀+((2t–1)/2!)∆²y₀+

((3t²–6t+2)/3!)∆³y₀+…);

• учётом быстрого убывания ∆^ky₀/k! можно ограничится несколькими первыми слагаемыми.

y’’≈(1/h²)(∆²y₀+(t–1)∆³y₀+…);

Внашем случае приходится использовать конечные разности и чаще используют интерполяционный многочлен Лагранжа, где нужны только значения функ. в узлах.

Пусть задана таблица, причём шаг h может быть непостоянным. Запишем многочлен Лагранжа для трёх узлов (n=2):

L_n(x)=∑_i=0ⁿy_i( (x–x₀)...(x–x_i-1)(x–x_i+1)...(x–x_n) )/( (x_i–x₀)...(x_i–x_i-1)(x_i–x_i+1)...(x_i–x_n) ); Для трёх узлов (шаг h постоянный):

L₂(x)=(1/(2h²))( (x–x₁)(x–x₂)y₀–2(x–x₀)(x–x₂)y₁+(x–x₁)(x–x₀)y₂ ); Погрешность:

R(x)=(y’’’(ξ)/3!)(x–x₀)(x–x₁)(x–x₂);

Найдём:

y’≈L’₂(x)=(1/(2h²))( (2x–x₁–x₂)y₀–2(2x–x₀–x₂)y₁+(2x–x₁–x₀)y₂ ); R’(x)=(y’’’(ξ)/3!)[(x–x₁)(x–x₂)+(x–x₀)(x–x₂)+(x–x₁)(x–x₀)];

Найдём y’₀ при x=x₀;

2x₀–x₁–x₂=x₀–x₁+x₀–x₂;

y’≈(1/(2h²))(–3hy₀+4hy₁–hy₂)=(1/(2h))(–3y₀+4y₁–y₂);

Найдём R’(x) в точке x₀:

R’(x₀)=(y’’’(ξ)/3!)(–3h²)=–(y’’’(ξ)/2)h²;

т.е. ошибка O(h²).

Аналогично получаем:

y’₁=y’(x₁)=(1/(2h))(y₂–y₀)–(h²/6)y’’’(ξ);

y’₂=y’(x₂)=(1/(2h))(y₀–4y₁–3y₂)+(h²/3)y’’’(ξ);

Для вторых производных:

y’’₀=y’’₂=(1/h²)(y₀–2y₁+y₂)+O(h);

y’’₁=(1/h²)(y₀–2y₁+y₂)+O(h²);

47

27. Аппроксимация частных производных

48

49

50

51

28.Уравнения в частных производных. Построение разностных схем. ТУРЧАК Если функ. содержит более одной переменной и рассматривается диф. ур., то

возникает частная производная, и такие уравнения наз. ур. в частных производных или ур. мат. физ.

Наиболее известные уравнения:

1. Ур. тепло-массо переноса: U_t = a² U_xx.

2. Ур. колебаний струны: U_tt = a² U_xx.

3. Распределение температуры в плоской пластине при заданной температуре на

границе: U_xx + U_yy = 0; U|_г = φ(x, y).

Среди численных методов наиболее распространёнными явл. разностные методы, они

основаны на том, что производные заменяются разностными аналогами

(аппроксимируются конечными разностями) и получаем вместо исходного ур. систему

лин. алг. ур. За начальное значение производных, начальное и граничное условие

выражаются через значения функ. в узлах сетки, в рез. чего и получается система лин.

алг. ур. наз. разностной схемой.

Рассмотрим простейшую схему на плоскости, т.е. пусть область G – прямоугольник с границами: a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d.

Разделим область на элементарные отрезки:

x_i = a + ih; 0 ≤ i ≤ I;

y_j = a + jh; 0 ≤ j ≤ J;

Через эти точки проведём прямые: x = const; y = const.

Узлы сетки лежащие на границе Г области G, наз. граничными, не лежащими на границе – вн. узлами.т.к. кроме самого ур. задаются граничные начальные условия, то значения функ. в граничных узлах можно считать заданными. Производные в ур. мы заменяем их разностными аналогами, пользуясь тем или иным шаблоном.

Построение разностных схем.

Рассмотрим ур. теплопроводности и разностную схему:

(∂U/∂t) = a² (∂²U/∂x²); (1) 0 ≤ x ≤ 1;

U(x; 0) = φ(x); (2)

U(0; t) = ψ₁(t); (3)

U(l; t) = ψ₂(t); (4)

φ(x) – начальное распределение температуры.

ψ₁(t), ψ₂(t) – распределение температуры на концах стержня в любой момент времени.

Должно выполняться условие согласования: φ(0) = ψ₁(0); φ(1) = ψ₂(0).

Введём сетку:x_i = ih;

t_j = jτ;

h, τ – шаги сетки.

Обозначим значения функции U^j_i = U(x_i, t_j).

Из аппроксимации в частных производных имеем:

1. => (U_i^j+1 – U^j_i)/τ = a² (U^j_i+1 – 2U^j_i + U^j_i-1)/h²;

i = 1,…, I – 1;

j = 0,…, J;