Динамическая задача

Если нагрузки на систему меняются во времени, т.е. f= f(t), то следует полагать функциями времени также усилия и перемещения, что может потребовать введения в рассмотрение скоростей dZ/dt и ускорений d²Z/dt². Когда возникающие при этом силы инерции

J(t)=Md 2 Z dt 2

(12)

не могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с нагрузками на систему и силами упругости, их следует учесть при формировании условий равновесия, которые примут вид дифференциальных уравнений

J(t)=Md 2 Z dt 2

(13)

Если все массы сосредоточены в узлах системы, то матрица масс М будет диагональной, в остальных же случаях приведение ее к диагональному виду представляет собой приближенный подход (он применен при разработке комплекса).

Задача определения характеристик собственных колебаний системы (модальный анализ) заключается в нахождении условий, при которых ненагруженная система совершает гармонические колебания по закону

Z(t)=Ψsin(ωt+ϕ).

(14)

В выражении (14) вектор Ψ характеризует форму собственных колебаний (соотношения между смещениями узлов); ω — их частоту; φ — начальную фазу. Подстановка (14) в (13) с учетом того, что f(t) = 0 дает уравнение для собственных колебаний

(K−ω 2 M)Ψ=0,

(15)

нетривиальное решение которого существует лишь тогда, когда величины ω_i (i = 1,..., n), называемые собственными частотами, обращают в нуль детерминант матрицы K–ω²M. Соответствующие им формы собственных колебаний Ψ_i вычисляются лишь с точностью до произвольного множителя. Этот множитель может быть назначен, например, таким образом, что максимальная компонента вектора Ψ_i равна единице. Следует также отметить свойство ортогональности собственных векторов как относительно матрицы масс, так и относительно матрицы жесткости, т.е.

ΨiТMΨj= 0 ΨiТKΨj= 0 при i ≠ j.

(16)

При динамическом расчете число компонент вектора Z, с которыми связаны инерционные силы (количество динамических степеней свободы), зачастую бывает намного меньшим, чем при статическом расчете. Типичным примером могут служить повороты узлов, обычно оказывающие значительно меньшее динамическое влияние, чем их линейные смещения. В SCAD инерционные моменты, соответствующие поворотам узлов, и другие инерционные характеристики могут быть проигнорированы, однако это уже задает сам пользователь, формулируя задачу динамического расчета. Если часть инерционных состав­ляющих нагрузки не учитывается, то, разделяя вектор Ψ на подвектор Ψ₀, для которого силы инерции равны нулю, и подвектор Ψ_I, связанный с инерционными силами, можно записать систему (15) в виде

K00 Ψ0+ K01 Ψ1 = 0; K10 Ψ0  + K11 Ψ1 = ω2M1Ψ1.

(17)

Из этой системы исключается подвектор Ψ₀, и в результате указанной процедуры «статического уплотнения» размерность задачи модального анализа резко уменьшается и приобретает вид

[(K 11 −K 10 K −1 00 K 01 ) −1 M 1 −λ 2 I]ψ 1 =0,

(18)

где I – единичная матрица, а λ = 1/ω.

В качестве результатов модального анализа выдаются собственные числа λ_i и собственные векторы Ψ_I задачи (18). С ними связаны круговая частота ω = 1/λ (рад/с), циклическая частота τ = ω/2π (Гц) и период Т = 1/θ.

В силу ортогональности форм собственных колебаний решение любой динамической задачи в виде разложения

Z(t)=∑ i y i (t)Ψ i

(19)

ведет к распаду системы дифференциальных уравнений (13) на независимые относительно обобщенных координат y_i(t). Эти уравнения с учетом дополнительного члена, пропорционального скорости, (с его помощью учитывается сопротивление движению) имеют вид

d 2 y i dt 2 +2ξ i ω i dy i dt +ω 2 i y i =P i (t)/M i .

(20)

Обобщенные силы

P i (t)=ω 2 Ψ T i f(t);

(21)

массы

M i =Ψ T i MΨ i

(22)

и параметры затухания ξ_i совместно с начальными условиями y⁰_i и y'_i , получаемыми из Z⁰ = Z(0) и Z' = dZ(0)/dt по формулам:

y 0 i  =Ψ T i MZ 0 ;y ′ i =Ψ T i MZ ′ ,

(23)

полностью определяют решение задачи. Это решение дается выражением

y i =exp[−ξ i ω i t]{[(y 0 i ξ i ω i +y 1 i )/ω Di ]sinω Di t+y 0 i }+ (1/ω Di M i )∫ 0 t P i (t)exp[−ξ i ω i (t−τ)]sinω Di (t−τ)dτ,

(24)

в котором первое слагаемое учитывает начальные условия, а второе — носит название интеграла Дюамеля.

Входящая в выражение (24) частота демпфированных колебаний

ω Di =ω i (1−ξ 2 I ) 1/2

(25)

мало отличается от ω_i при обычных значениях логарифмического декремента

δ=2πξω/ω D ≈2πξ.

(26)

 

MATHJAX AMS ˆ 