Использование законтурных элементов упругого основания

При расчете конструкций на упругом основании возникают проблемы учета распределительных свойств основания, которые игнорируются в простейшем случае винклерова осно­вания (клавишная модель). Большинство реальных грунтов обладают распределительной способностью, когда, в отличие от винклеровой расчетной схемы, в работу вовлекаются не только непосредственно нагруженные части основания. Следовательно, для учета распределительной способности основания необходимо, во-первых, использовать отличные от винклеровой модели основания, во-вторых, ввести в расчетную схему те части основания, кото­рые расположены за пределом фундаментной конструкции.

Учет части основания, расположенной за областью Ω, занимаемой самой конструкцией, в SCAD может выполняться с использованием «бесконечных» конечных элементов [16] типа клина или полосы. Эти эле­мен­ты позволяют смоделировать все окружение области Ω, если она является выпуклой и многоугольной.

Многоугольность области практически всегда обеспечивается с той или иной степенью точности. Если же область Ω является невыпуклой или неодносвязной, она должна быть дополнена до выпуклой области конечными элементами ограниченных размеров. При этом в дополняемых частях толщина плиты принимается равной нулю.

Расположение законтурных конечных элементов типа клина и полосы

1 — плита; 2 — дополнение области Ω до выпуклой; 3 — элемент-полоса; 4 — элемент-клин.

Использование только имеющихся конечных элемен­тов на упругом основании (стержней, плит, оболочек) и специальных законтурных элементов не позволяет создать произвольную расчетную схему конструкции, расположенной на упругом основании. В частности, могут возникнуть сложности, например, при попытке построить расчетную модель плотины, рабо­тающей в условиях плоской деформации, поскольку эле­ментов типа балки-стенки на упругом основании комплекс SCAD не имеет.

Проблема решается очень просто путем включения между контуром плотины и грунтом элементов стержневого типа на упругом основании. При этом жесткость такого стержня может быть задана нулевой. Аналогично можно «подстелить» плиту с нулевой жесткостью на упругом основании под массивную часть расчетной модели.

В случае, если для определения коэффициентов постели использовалась программа КРОСС, законтурные элементы плиты не вводятся. Это связано с тем, что внутри программы КРОСС решается задача для неограниченной в плане области, и результаты решения такой задачи нашли свое отражение в значениях и законе распределения коэффициентов постели.

Использование бесконечно жестких вставок

Широко известно, что плохо обусловленные матрицы жесткости часто появляются в тех случаях, когда в одном узле конечно-элементной модели сопрягаются элементы с резко отличными жесткостными параметрами. Покажем на простом примере, как можно интерпретировать такую ситуацию в терминах механики. Оказывается, что плохая обусловленность присуща «почти изменяемым» конструкциям.

На рис. 1 представлена формально неизменяемая система, матрица жесткости которой имеет вид

K=k(1+α  −1 −1  1+α )

Собственные числа этой матрицы λ₁ = α; λ₁ = 2 + α, а число обусловленности

H = λ₂/ λ₁= 1 + 2/α.

При большой жесткости средней пружины по сравнению с жесткостью крайних пружин параметр α мал, и число H становится большим, что говорит о плохой обусловленности и возможной потере точности при решении уравнений с такой матрицей.

Рис. 1. Схема с плохо обусловленной матрицей жесткости

Нетрудно заметить, что механическое поведение рассматриваемой конструкции приближается к поведению изменяемой системы. Действительно, возможно перемещение средней пружинки как жесткого тела при пренебрежимо малом сопротивлении крайних пружинок. Их реакция ввиду приведенного соотношения жесткостей вызывает ничтожную деформацию средней компоненты системы. Если же изменить соотношение жесткостей на обратное, то матрица жесткости будет иметь число обусловленности H ≈ 1. В узле снова сходятся элементы с резко отличными жесткостями, но матрица жесткости хорошо обусловлена и соответствует теперь упругой конструкции (средней пружинке), присоединенной к земле практически недеформируемыми связями. Стоит заметить, что отыскание «почти изменяемости», осно­ванной на сопоставлении порядков возможных деформаций, может свидетельствовать как о некотором пороке конструкции, так и о порочности ее моделирования.

Рис. 2. Ступенчатый  стык

Не останавливаясь на анализе первого случая, когда, по-видимому, конструктор должен изменить систему, заметим, что для второго случая часто удается найти достаточно простой выход из положения, когда элемент с резко завы­шенной жесткостью объявляется абсолютно жестким, и это свойство учитывается на уровне составления системы раз­ре­шающих уравнений путем введения соответствующих связей. Так, например, при расчете стержневых систем часто возникает необходимость учесть эксцен­тричность стыковки элементов в узлах (рис. 2, а). Вставка между узлами n и n+1 стержня с очень большой, но конечной жесткостью, как это представ­ляется интуитивно возможным, приводит, как это было показано выше, к резкой потере точности вычислений за счет ухудшения обуслов­ленности матрицы жесткости.

Для обхода этой вычислительной трудности предусматривается возможность использовать бесконечно жесткие вставки по концам стержневых элементов. Тогда расчетная схема имеет только один узел, занимающий произвольное поло­жение на прямой между узлом n и узлом n+1, и концевые сечения соседних элементов присоединяются к этому узлу через жесткие вставки. Потеря точности в этом случае не наблюдается.

Проще всего можно поступить, если этот единственный узел N совместить с узлом n или n+1, тогда абсолютно жесткая вставка появится только у одного из элементов. Платой за это упрощение является то, что внутренние усилия будут определены лишь на упругой части стержня.

Рис. 3. Ребристая плита

Использование абсолютно жестких вставок широко практикуется в тех случаях, когда рассматривается плита или оболочка, подкрепленная ребрами, эксцентрично расположенными по отношению к срединной поверхности. Если эти ребра моделируются стержневыми элементами, то учесть эксцентриситет легко и удобно, используя абсолютно жесткие вставки (рис. 4). Необходимо отметить, что эксцентричность расположения ребер сказывается на результатах, относящихся к мембранной группе усилий, поэтому учет эксцентриситета в конструкции чисто изгибаемого типа (и набранной из соответствующих конечных элементов) ничего не дает.

Рис. 4. Использование абсолютно жестких вставок для учета размеров узлов

При расчете стержневых систем высота сечения обычно не превышает 1/8÷1/10 расстояния между узлами. Но встречаются конструкции, когда это отношение доходит до 1/5 или даже 1/3 (некоторые виды фундаментов под турбоагрегаты, диафрагмы зданий, гидротехнические сооружения и др.). В этом случае стержневая расчетная схема с точечными узлами, распо­ложенными на пересечениях осей элементов, становится некорректной. Широко распространено предложение учитывать при этом реальные размеры «узлов», используя для этих целей стержневые элементы с бесконечно жесткими вставками. Пример такой схемы, построенной в соответствии с рекомендациями [3], дан на рис. 4.

Этот прием настолько давно используется, что расчетчики практически никогда не задают вопрос о правомерности использования гипотезы недеформируемости «узла». Вместе с тем он далеко не лишен смысла, что видно из рассмотрения результатов расчета модельной задачи (рис. 5).

Рис. 5. К анализу работы узла конечных размеров

В ее стержневой модели горизонтальные перемещения отсутствуют, и вертикальный стержень не изгибается. Более детальная расчетная схема указывает на наличие горизонтальных перемещений, которые воз­никают вследствие стеснения деформаций сжатия по линии сопряжения АБ. Поскольку на проти­воположной стороне «стойки» этого стеснения нет, то возникает неравномерность распределения напря­жений, эквивалентная изгибу.



Литература

1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложения математики.— М.:Наука, 1983.— 328 с.

2. Вовкушевский А.В., Шойхет Б.А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов.— М.: Энергия, 1981. — 136 с.

3. Городецкий А.С., Евзеров И.Д., Стрелец-Стрелецкий Е.Б., Боговис В.Е., Гензерский Ю.В., Городец­кий Д.А. Метод конечных элементов: теория и численная реализация. Программный комплекс "Лира-Windows" — Киев: ФАКТ, 1997.

4. Динамический расчет зданий и сооружений. (Справочник проектировщика).— М.: Стройиздат, 1979.— 320 с.

5. Евзеров И.Д. Оценки погрешности несовместных конечных элементов плиты. Деп. в УкрНИИНТИ, №1467 — Киев, 1979. — 9 с.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975.— 542 с.

7. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство.— М.: УРСС, 2003. — 272 с.

8. Карпиловский В.С. Методы конструирования конечных элементов. Деп. в УкрНИИНТИ, №3153.— Киев, 1980. — 20 с.

9. Медведева H.М., Микитаренко М.А., Перельмутер А.В. Статический и динамический расчет мачт на ЭВМ. // Сопротивление материалов и теория сооружений — Вып.48 — Киев:Будiвельник, 1986. — С.79 –82.

10. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете дополнительных связей // Метод конечных элементов и строительная механика: Тр.ЛПИ — №349 — Л.: 1976. — С.28–36.

11. Перельмутер А.В.,Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа.  — М, Изд-во ДМК-Пресс, 2007. — 600 с.

12. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1975. — 237 с.

13. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений — М.: Трансжелдориздат, 1947.

14. СНиП II-7-81*. Строительство в сейсмических районах / Минстрой России — М.: ГУП ЦПП, 2003. —44 с.

15. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов — М.: Мир, 1977.— 349 с.

16. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов — М.: Наука, 1975.— 174 с.

17. Makiett R.N., Marcal P.V. Finite Element Analysis of Nonlinear Structures // Journal Structural Division. — Proc./ASCE, 1968.—Vol. 94.—No ST9.— Р.2081–2105.

18. Oden J.T. Finite Elements of Nonlinear Continua.— New York: McGraw Hill Book Company, 1972.

19. Sabahi D., Rose T. Special Applications of Global-Local Analysis, MSC/NASTRAN 1992 World Users` Conference Proceedings.

20. Schiermeier J.E., Housner J.M., Ranson J.B., Aminpour M.A., Stroud W.J. The Application of Interface Element to Dissimilar Meshes in Global/Local Analysis, MSC 1996 World Users` Conference Proceedings

21. Timoshenko S.P. Theory of elastic stability.— New York: McGraw Hill Book Company, 1961.

22. Yannanakis M. Computing the minimum fill-in is NP-complete. SIAM Journal of Algebraic and Discrete Methods, 1981., T2. № 1, 77–79