Прямое интегрирование уравнений движения

Уравнения движения конечно-элементной (МКЭ) модели мы будем рассматривать в виде:

MZ ¨ (t)+CZ ˙ (t)+KZ(t)=f(t)

(19)

где введена матрица демпфирования С, а точками сверху обозначено дифференцирование по времени.

Начальные условия определяются начальными перемещениями системы (вектор Z₀) и начальными скоростями (вектор Ż₀). Уравнения движения (19) интегрируются при начальных условиях методом разложения по формам собственных колебаний недемпфированной системы Z(0)=Z 0 ,Z ˙ (0)=Z ˙ 0 , что приводит к распавшейся системе в тех случаях, когда матрица демпфирования представляема в виде линейной комбинации матриц масс и жесткостей, т.е. C=αM +βK. Мы будем предполагать, что такое условие выполняется, тогда коэффициенты упомянутой линейной комбинации могут быть представлены формулами

α=2ω 1 ω 2 (ξ 1 ω 2 −ξ 2 ω 1 )/(ω 2 2 −ω 2 1 ),β=2(ξ 2 ω 2 −ξ 1 ω 1 )/(ω 2 2 −ω 2 1 )

(20)

где ω₁, ω₂, ξ₁, ξ₂ – первые две собственные круговые частоты в рад/с и модальное демпфирование для первой и второй формы собственных колебаний (в процентах от критического демпфирования). Предполагается, что ω₁ > ω₂ > 0 и ξ₁ ≥ ξ₂ > 0. В случае, когда ω_{1 =} ω₂ или первые две частоты очень близки (ω₁-ω₂)/ ω₁ < 0.0001), принимается, что α = 2 ξ₁ω₁, β=0.

В реализации для SCAD принято Z 0 =Z ˙ 0 =0 , если это начало расчета, и Z 0 =Z(t ∗ ),Z ˙ 0 =Z ˙ (t ∗ ) , если выполняется продолжение прерванного расчета, где t* – момент времени сохранения предыдущего результата расчета.

Решение строится для тех случаев, когда нагрузки могут изменяться во времени по разным законам для различных узлов системы. Тогда вектор правой части представим в форме f(t)=∑ p=1 N p f p ⋅ϕ p (t) , где f_p – вектор, определяющий узловую нагрузку на р-ю группу узлов, φ_p(t) – соответствующая функция времени, N_p – количество групп узлов, для которых задаются разные функции времени.

Для решения задачи используется безусловно устойчивый вариант метода Ньюмарка в форме «предиктор-корректор». Весь временной интервал [t_start, t_end] разбивается на конечное число шагов N_step = T_dur/ Δt+1, T_dur=t_end-t_start). В пределах одной постановки задачи шаг интегрирования Δt сохраняется постоянным. Если возникает необходимость интегрировать уравнения движения с разным по величине шагом, необходимо разбить весь временной интервал на подинтервалы [t₀, t₁], [t₁, t₂], ... , [t_k-1, t_k], каждый из которых интегрируется с постоянным в пределах интервала шагом Δt_k (рис. 1). Первая постановка задачи – начало расчета – выполняется для первого подинтервала [t₀, t₁], а остальные постановки задачи – продолжение расчета – соответственно для подинтервалов [t₁, t₂], ... , [t_k-1, t_k].

Рис. 1. Разбивка на подинтервалы



Разрешающие уравнения

Будем рассматривать равновесие системы, у которой в начальной конфигурации выполняются условия

K0 Z= f,

(1)

а под влиянием приращения нагрузки на величину δf приращения усилий δs и перемещений δZ таковы, что компоненты вектора дополнительных перемещений dZ относительно невелики, но все же требуют гео­мет­рически нелинейного анализа. Тогда, как известно [17], уравнения в вариациях можно представить в форме

[K0 + K1(s0) + K2(Z0)]δZ = (K0 + KG)δZ = δf.

(2)

Здесь к обычной матрице жесткости K₀ добавляется матрица начальных напряжений  K₁(s₀) = T(s₀), линейно зависящая от усилий в системе перед началом приращения нагрузки, и матрица начальных поворотов K₂(Z₀), не более чем квадратично зависящая от перемещений. В уравнениях (2) не представлена матрица начального нагружения Дж. Одена [18], которая корректирует нагрузку. Неучет матрицы начального нагружения говорит о том, что предполагается независимость нагрузки от конфигурации системы или же считается, что соответствующие коррективы введены при формировании вектора приращений δf. Матрицу K_G принято называть матрицей геометрической жесткости.