§ 7. Экстремум функции двух переменных.
Окрестность точки______________________________________
_
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение максимума функции двух переменных_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение минимума функции двух переменных._________________ _______
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение экстремума._______________________________________________________ _______________________________________________________________________________________
Теорема (необходимое условие экстремума)__________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Принимаем без доказательств.
Необходимое условие экстремума не является достаточным (!)
Пример.
Рассмотрим функцию
(рис. 10).
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение критической (стационарной) точки второго рода ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.
Теорема (достаточное условие экстремума)__________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример
1. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение.
1) Находим производные первого порядка.
2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:
Получаем две критические точки: __________________
3) Находим производные второго порядка:
4) Исследуем первую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
5) Исследуем вторую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
Пример
2. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. (самостоятельно)
1) Находим производные первого порядка.
2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:
Получаем две критические точки: __________________
3) Находим производные второго порядка:
4) Исследуем первую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________
5) Исследуем вторую критическую точку:
Следовательно, ________________________________________________