§ 3. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§ 4. Частные производные высших порядков.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Схема формирования частных производных высших порядков функции двух переменных.

f(x,y)

Определение. Смешанными частными производными называют___________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теорема (о смешанных производных) ______________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимаем теорему без доказательств.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:

Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:

Вторые производные по х и по у будем искать, дифференцируя найденные производные первого порядка:

Мы убедились, что теорема выполняется: