Вероятностная логика

Нильсон, Банди

Множество инциденций

w– множество элементарных событий

i(A),– инциденция А (множество элементарных событий, где А истинно)

Постулируется, что:

Для моделирования качественных рассуждений используются модальные логики (для представления правдоподобных рассуждений).

□ → L– вероятно

◊ → М

LA– вероятно А

LLA– вероятно, что вероятно А (менее вероятно, чемLA)

LⁿAслабееL^mA, еслиn>m

Вводятся продукционные правила: если Е, то LⁿН

n– показатель доверия

Поиск решения в условиях неопределенности с использованием деревьев решения (др)

1. Конъюнктивные вершины

Р(c_i&c_j → R, k)

R

k

c_i c_j

k(c_i) k(c_j)

k(R) = f(k(c_i),k)

1. Maxmin

k(R) = min{k(c_i), k(c_j)}k

2. Вероятностная логика

2. Дизъюнктивные вершины

Р(c_i → R, k_i)

Р(c_j → R, k_j)

R

k_i k_j

P_i P_j

c_i c_j

k(c_i) k(c_j)

1. Maxmin

k(R) = min{k(c_i), k(c_j)}k

2. Вероятностная логика

k(R) = k(c_i)k_i + k(c_j)k_j + k(c_i)k(c_j)k_i k_j

Пример

{R_i} – набор правил

{F_j} – наблюдаемые факторы (свидетельства)

{c_i} – промежуточные заключения

R– целевое заключение

P1 = (F1 →c1, 0.8)

P2 = (F2 →c1, 0.7)

P3 = (F3 →c2, 1)

P4 = (F4&F5 →c3, 0.9)

P5 = (F6 →c6, 1)

P6 = (F7 →c6, 0.7)

P7 = (F8&F9 →c4, 0.4)

P8 = (c1&c2&c3 → c5, 0.9)

P9 = (c4→ c6, 0.8)

P10 = (c5&c6 → R, 1)

1. Построить ДР (обратный проход)

Видим, что Rвыводимо и есть альтернативные пути решения (ДР строим сверху-вниз)

R

P10

c5 c6

P9

P8 P5 P6

c1 c2 c3 c4

F6 F7

P1 P2 P3 P4 P7

F1 F2 F3 F4 F5 F8 F9

Вводится

Если меньше порогового значения (k_порог= 0,2), то данные не учитываются.

Пусть

Отсюда видно, что F2 иF6 не учитываются, т.к. < 0.2.

2. Расчет k(R) (прямой проход)

1. Maxmin (MM)

k(c1) = max{(0,90,8); (0,70)}= 0,72

k(c2) = 1

k(c3) = min{0,8; 0,9}0,9 = 0,72

k(c4) = min{0,7; 0,5}0,4 = 0,2

k(c5) = min{0,72; 1; 0,72}0,9 = 0,65

k(c6) = max{(0,70,8); (0,80,2)}0,56

k(R) = min{0,65; 0,56}= 0,56

2. Вероятностная логика

k(c1) = 0,80,9= 0,72

k(c2) = 1

k(c3) = 0,90,80,9 = 0,65

k(c4) = 0,40,70,5 = 0,14

k(c5) = 0,7210,60,9 = 0,42

k(c6) = 0,80,7 + 0,140,8 – 0,560,112 = 0,57

k(R) = 0,420,571 = 0,24

Если

R

0,6 0,5

с5 с6 (*) (**)

1. (*) = k(R) = max{0.56; 0.6} = 0.6

(**) = k(R) = max{0.6; 0.5} = 0.6

Зависит от максимальной ветки

2. Вероятностная логика

(*) = k(R) = 0.24 + 0.6 – 0.240.6 = 0.7

(**) = k(R) = 0.7 + 0.5 – 0.35 = 0.85

Методы обработки неопределенности вGuru

AND (&)

P_i = (c_i → R_i, k_i)

интерпретируется

а b

k(R_i) = f(a,b)

OR (v)

P_i = (c_i → R, k_i) → a

P_j = (c_j → R, k_j) → b

k(R) = f(a,b)

Основные логики: maxminи вероятностная

E.CFVA=xx

AND OR

Тип метода	AND (&)	OR (v)
M	Min{a,b}	Max{a,b}
Вероятностная (P)	ab	a + b – ab
Смешанная (A)
Специальная (B)	(ab)(2 – min{a,b})	Max{a,b} + min{a,b}(1 – a)(1 – b)

Пример

R– надежность поставщиков

R

Статус (с3)

1. Государс.

2. Индивид.

3. Частный

4. Корпор.

Удаленность

(с4)

• Близко (<500км)

• Далеко (>500км)

Финансовое состояние нет рекламаций

с1 с2

с11 с12

рентабельность нет задолженностей

P1 = (c1 →R; 0.9)

P2 = (c2 →R; 0.8)

P31 = (c3 = «гос» →R; 0.6)

P32 = (c3 = «корпор» →R; 0.5)

P33 = (c3 = «инд» →R; 0.4)

P34 = (c3 = «частн» →R; 0.4)

P41 = (c4 →R; 0.6)

P42 = (⌐c4 →R; 0.3)

P11 = (c11&c12 →c1; 1.0)

P12 = (⌐c11&c12 →c1; 0.6)

P13 = (c11&⌐c12 → ⌐c1; 0.6)

P14 = (⌐c11&⌐c12 → ⌐c1; 1.0)

Существенные факторы ставят первыми, т.к. в случае неудовлетворительных результатов можно сразу остановить консультацию.

1. Логика РР:

0,9 + 0,8 – 0,72 = 0,98

0,98 + 0,5 – 0,49 = 0,99

0,99 + 0,6 – 0,594 = 1,0

ММ:

Max{0,9; 0,8; 0,5; 0,6}= 0,9

2. Изменим дерево: с1 – 0,6; с2 – 0,6; с3 – 1; с4 – 1

Логика РР:

0,60,9 + 0,60,8 – 0,540,48 = 0,76

0,76 + 0,5 – 0,760,5 = 0,88

0,88 + 0,6 – 0,880,6 = 0,95

ММ:

Max{min{0,6; 0,9};min{0,6; 0,8};min{0,5; 1};min{0,6; 1}} = 0,6

P1 = (c1 → R; k1)

P2 = (c2 → R; k2)

R

k1= a k2=b

P1 P2

0.9 0.8

c1 c2

+ +

k(R) = a + b – ab

Если на c2 стоит –1, на с1 - +1, то:k(R) =a(1 –b)

k(R) = 0.9 + 0.8 – 0.72 = 0.98 – неправильно

k(R) = 0,90,2 = 0,18 – правильно

R

k1= a k2=b

P1 P2

0.9 0.8

c1 c2

+0,6 +0,6

k(R) = 0,60,9 + 0,60,8 – 0,540,48 = 0,76

Когда при с2 стоит -0,6, то k(R) = 0,60,9(1 – 0,80,6) = 0,28

При использовании вероятностной логики система не проверяет данные на удовлетворение аксиоме вероятности, поэтому это надо проверять вручную.

Ifk(R)50,then«поставщик надежен с коэффициентомk(R)»,else«поставщик не надежен с коэффициентом 100 -k(R)»