1. I рода слева – I рода справа.

2. II рода слева – II рода справа.

3. I рода слева – II рода справа.

4. II рода слева – I рода справа.

5. I рода слева – III рода справа.

Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Задачи Штурма-Лиувилля.pdf

Скачиваний:

251

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

270.69 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода:

X00(x) + X(x) = 0;

(1.1)

X(0) = X(l) = 0:

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

при > 0;

X(x) = c1 sin( x) + c2 cos(

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0; ) X(x) = c1 sin(p

x).

Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что p

l = n откуда имеем

бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:

n =

;

n 2 N:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = sin

;

n 2 N:

При < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = c1; ) X(x) = 2c1 sh

Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–

Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.

При = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0; ) X(x) = c1x. Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями II-го рода:
X000(0) = X0(l) = 0:	(2.1)
X (x) + X(x) = 0;

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin(	x) + c2 cos(		x)	при > 0;
p		p		при < 0;
X(x) = c1e x + c2e x
X(x) = c1x + c2			при = 0;

-1-

-2-

(2n

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

При > 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = 0;

) X(x) = c2 cos(p

x) )

X0(x) = c2 sin( x). Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем, что

l = k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:

n =

2 ;

n 2 N:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

;

n 2 N:

Xn(x) =

cos

(множитель 2l появляется, чтобы система этих функций превратилась из ортогональной

в ортонормированную)

При < 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = c2;

) X(x) = 2c1 ch p

x )

x). Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем,

X0(x) = 2c1

sh(

что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1

= 0;

) X(x) = c2. Вто-

рое краевое условие X0(l) = 0 выполнено, поэтому задача Штурма–Лиувилля (??)–(??)

имеет собственное число, равное нулю: 0 = 0. Ему соответствует собственная функиця

X0(x) 1l .

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

0 = 0;

X0(x) 1; n =

;

Xn(x) = cos

;

n 2 N

(2.2)

задачи (2.1).

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием I-го рода на левом конце отрезка [0; l]

и II-го рода – на правом:
	X00(x) + X(x) = 0;	(3.1)
	X(0) = X0(l) = 0:	(3.1)

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

p			p		при > 0;
X(x) = c1 sin(	x) + c2 cos(			x)
p		p			при < 0;
X(x) = c1e x + c2e x
X(x) = c1x + c2			при = 0;

При > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c = 0; ) X(x) = c sin( x) ) p p 2 1

X0(x) = c cos( x). Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем, что p 1

l = k 2 откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–

Лиувилля:
n =	(2	n	2
		1)	; n 2 N:

		2l

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = sin 1)x ; n 2 N:

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

При < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c1 = c2; ) X(x) = 2c1 sh p

x )

X0(x) = 2c1 ch( x). Поэтому из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем,

что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.

При = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0;

) X(x) = c1x. Второе

краевое условие X0(l) = 0 означает тогда, что c1 = 0, поэтому задача Штурма–Лиувилля

(3.1) не имеет собственного числа, равного нулю.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

n =

(2 2l 1)

n 2 N

(3.2)

; Xn(x) = sin (2n2l 1)x ;

задачи (3.1).

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием II-го рода на левом конце отрезка [0; l]

и I-го рода – на правом:

X (x) + X(x) = 0;

X000(0) = X(l) = 0:

(4.1)

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

при > 0;

X(x) = c1 sin( x) + c2 cos(

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = 0;

) X(x) = c2 cos(p

x):

Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что p

p =

21 + k

откуда

имеем бесконечное множество собственных чисел задачи

Штурма–Лиувилля:

k =

;

k 2 N:

(4.2)

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xk(x) = cos (2

2l 1)x

; k 2 N:

(4.3)

При < 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = c2;

) X(x) = 2c1 ch

Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма– Лиувилля не имеет нетривиальных решений при < 0.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = 0; ) X(x) = c2. Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что c2 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля

не имеет нетривиальных решений при = 0.
Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений
	k	2		k
k =	(2 1)	; Xk(x) = cos	(2	1)	x ; k 2 N	(4.4)

	2l			2l

задачи (4.1).

-3-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

не имеет собственного числа, равного нулю.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

; Xn(x) = sin

задачи (1.1).

Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием I-го рода на левом конце отрезка [0; l] и III-го рода – на правом:

	X00(x) + X(x) = 0;	(5.1)
	X(0) = X0(l) + hX(l) = 0; h > 0:

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

X(x) = c1 sin( x) + c2 cos(

при > 0;

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 из краевого условия X(0) = 0 следует, что

c2 = 0; ) X(x) = c1 sin(

) X0(x) = c1 cos(

x):

Поэтому из второго краевого условия X0(l) + hX(l) = 0 получаем, что

cos( l) +

h sin( l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может быть равен нулю, т.к. тогда синус равнялся бы ( 1), и равенство не было бы выполнено)

= h tg( l)

Это уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений n, n 2 N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может быть найдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем, удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.

Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля:

n 2 N:

n > 0 решения уравнения

= h tg( l);

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = sin p

x ;

n 2 N:

При < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

При = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0; )

X(x) = c1x

)

X0(x) = c1), и второе краевое условие X0(l) + hX(l) = 0 даёт требование c1 + c1hl = 0,

откуда c1 = 0, и у данной задачи нет нетривиальных решений при = 0.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

n > 0 решения уравнения

= h tg(p

Xn(x) = sin p

x ; n 2 N

(5.2)

l);

задачи (5.1).

-4-

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб251Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб79Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб104Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб73Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб424Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб22Экзаменационная программа.doc