Статистичний комплекс для однофакторного дисперсійного аналізу

Рівні	Результати випробувань							Середнє значення на і-му рівні
	1	2	3	…	j	…	n
1				...		…
2				…		…
3				…		…
...	...	...	...	...	...	...	...	...
і				…		…
...	...	...	...	...	...	...	...	...
N				…		…

Припускаємо, що сукупності значень розривного навантаження у кожній партії сировини мають нормальний розподіл і рівні дисперсії.

Нехай для і-го рівня n випробувань мають середнє значення , що дорівнює сумі загального середнього значення μ і його варіації , обумовленої і-м рівнем фактора, тобто Тоді результат одного випробування можна навести в такому вигляді:

, (7.1)

де – загальне середнє,

– ефект, обумовлений і-м рівнем фактора,

– варіація результатів всередині окремого рівня (характеризує вплив на варіювання результатів всередині окремого рівня усіх неврахованих факторів, наприклад, похибки вимірювань).

Згідно поставленої задачі, необхідно оцінити суттєвість впливу фактора γ на величину розривного навантаження. Загальну варіацію змінної можна розкласти на складові, одна з яких характеризує вплив фактора γ, друга – вплив не врахованих факторів. Для цього необхідно знайти оцінки середніх значень по рівням і оцінку загального середнього . Оцінкою є середнє арифметичне n випробувань, тобто . Оцінкою є середнє арифметичне всієї сукупності випробувань, тобто

або .

Сума квадратів відхилень від , або знаходиться як

,

або

C = C₁ + C₂ (7.2)

Складова C₁ є сумою квадратів різниць між середніми значеннями рівнів і середнім значенням усієї сукупності випробувань. Вона називається сумою квадратів відхилень між групами і характеризує розбіжності між рівнями. Її називають також розсіюванням за факторами, тобто розсіюванням під впливом досліджуваного фактора. Складова C₂ є сумою квадратів різниць між окремими випробуваннями і середнім значенням і-го рівня. Її називають також залишковим розсіюванням, тобто розсіюванням за рахунок неврахованих факторів. Складова C називається загальною або повною сумою квадратів відхилень окремих випробувань від загального середнього .

Знаючи суми квадратів C, C₁ і C₂ можна надати оцінки відповідним дисперсіям – міжгруповій, внутрішньогруповій і загальній, у такому вигляді:

,

,

.

Якщо вплив всіх рівнів фактора γ однаковий, рівні і – оцінки загальної дисперсії. Тоді для оцінки суттєвості впливу фактора γ достатньо перевірити нульову гіпотезу H₀: = . Для цього обчислюють розрахункове значення критерію F= / з і ступенями вільності. За таблицею знаходять табличне значення критерію за прийнятим рівнем значущості α та числовими значеннями і , тобто Якщо F˃ , то нульова гіпотеза відкидається і робиться висновок про суттєвий вплив фактора γ. При F ˂ нульова гіпотеза приймається і вважається, що вплив фактора γ не суттєвий.

7.3. Двофакторний дисперсійний аналіз.

Двофакторний дисперсійний аналіз проводиться у випадку двох одночасно діючих факторів, коли необхідно оцінити їх вплив. Особливістю при цьому є необхідність врахування взаємодії між факторами.

Задачу оцінки впливу двох одночасно діючих факторів можна розглянути на такому прикладі. Маємо кілька однотипних станків і кілька видів сировини. Необхідно встановити, чи значущий (суттєвий) вплив різних станків і якості сировини в партіях на якість оброблюваних деталей. Це – приклад типової задачі двофакторного дисперсійного аналізу.

Вважаємо, що умови для проведення дисперсійного аналізу (див. однофакторний дисперсійний аналіз) виконані. Нехай фактор А – вплив наладки станка, фатор В – вплив якості сировини. Маємо r станків, тобто r рівнів фактора А і v партій сировини, тобто v рівнів фактора В. Результати випробувань представляємо у вигляді таблиці – статистичного комплексу (табл. 7.3). Перетин i-го рівня фактора А з j-м рівнем фактора В утворює i j-у клітинку, в яку записують результати випробувань, одержані при одночасному дослідженні факторів А і В на i-му і j-му рівнях.

Для спрощення припускаємо, що в клітинках маємо результат лише одного випробування . Припускаємо також, що між факторами А і В відсутня взаємодія; на i-му рівні фактора А результати спостережень мають середнє значення , а на на j-му рівні фактора В - . Тоді результати одного випробування можна представити у вигляді

, (7.3)

де – загальне середнє;

– ефект, обумовлений впливом i-го рівня фактора А;

– ефект, обумовлений впливом j-го рівня фактора В;

– варіація результатів усередині окремої клітинки (у випадку наявності в клітинці результату лише одного випробування, варіація дорівнює нулю).

Таблиця 7.3