6.3.2. Порівняння дисперсій двох сукупностей

Задача перевірки гіпотези про рівність двох дисперсій виникає досить часто: наприклад, при аналізі стабільності виробничого процесу до і після введення технічних удосконалень (коливання випуску продукції вимірюються з допомогою середньоквадратичного відхилення), при вивченні якості вимірювальних приладів (співставлення їх дисперсій), при вивченні ступеня однорідності двох сукупностей по відношенню до якоїсь ознаки (кваліфікація робітників, стаж персоналу тощо). Необхідність в перевірці рівності дисперсій виникає і при порівнянні середніх величин сукупностей, оскільки при цьому в більшості випадків передбачається, що генеральні дисперсії однакові.

Нехай маємо дві нормально розподілені генеральні сукупності з дисперсіями D_x і D_y. Для цього випадку необхідно перевірити гіпотезу H₀ : D_x=D_y. Так як дисперсії генеральних сукупностей невідомі, то перевірку висунутої гіпотези здійснюють на основі співставлення вибіркових дисперсій D_вx і D_вy. Якщо відношення D_вx / D_вy близьке до 1, то немає підстав для відхилення гіпотези. Якщо відношення D_вx / D_вy значно відрізняється від 1, то цей факт може вказувати на необхідність її відхилення. Виникає питання: при якому значенні відношення вибіркових дисперсій такий висновок буде достатньо обґрунтованим?

Для вирішення цього питання застосовується розподіл відношення , де D_вx ˃ D_вy , (6.15)

яке одержуємо при багатократному повторенні вибірок з двох нормально розподілених сукупностей з рівними відповідно до гіпотези дисперсіями (F-розподіл Фішера – Снедекора). Вказаний розподіл залежить від двох параметрів – кількості ступенів вільності чисельника і знаменника: f₁=n₁ – 1 і f₂=n₂ – 1, де n₁ і n₂ – обсяги вибірок.

Позначимо критичне значення F, яке визначається за відповідними таблицями F-розподілу при заданому рівні значимості α, через F_α. В цьому випадку перевірка гіпотези H₀ здійснюється за співвідношенням F і F_α: якщо відношення вибіркових дисперсій F виявиться більше критичного значення F_α (тобто F ˃ F_α), то гіпотеза H₀ відхиляється; якщо F ⩽ F_α , то H₀ не відхиляється.

6.4. Оцінки параметрів сукупностей

В дослідницькій роботі часто доводиться давати оцінку параметрам великої сукупності (генеральна сукупність) за невеликою кількістю вибраних з неї випадковим чином значень (вибірка). Будь – яке значення шуканого параметра, обчислене за обмеженою кількістю дослідів, завжди буде мати елемент випадковості. Таке випадкове, наближене значення називається оцінкою (або статистикою) параметра. Наприклад, оцінкою для математичного сподівання може служити середнє арифметичне значень випадкової величини в n незалежних дослідах. При досить великій кількості дослідів середнє арифметичне буде з великою ймовірністю досить близьке до математичного сподівання. Якщо кількість дослідів n незначна, то заміна математичного сподівання середнім арифметичним може призвести до суттєвої помилки. І ця помилка в середньому буде тим більша, чим менше число дослідів. Те ж саме буде і з оцінками інших невідомих параметрів. При виборі оцінки треба намагатись мінімізувати помилку.

Нехай маємо випадкову величину Х, закон розподілу якої містить невідомий параметр a. Задачею оцінювання параметра a в цьому випадку є знаходження прийнятної за точністю оцінки для параметра a за результатами n незалежних дослідів (тобто за результатами вибірки), в кожному з яких величина Х набувала певного значення Х₁, Х₂, Х₃, … , Х_n. Необхідно відмітити, що вибірка з випадкової величини Х також буде мати випадковий характер, а вибіркові значення випадкової величини Х₁, Х₂, Х₃, … , Х_n будуть мати такий же закон розподілу, як і випадкова величина Х.

Позначимо оцінку для параметра а. Будь яка оцінка, обчислена на основі даних вибірки, повинна являти собою функцію величин Х₁, Х₂, Х₃, … , Х_n, тобто = (Х₁, Х₂, Х₃, … , Х_n) і, отже, сама бути випадковою величиною. Закон розподілу залежить як від закону розподілу величини Х, так і від чисельності вибірки n.

Щоб бути «якісною» оцінкою, оцінка повинна відповідати ряду вимог. По-перше, оцінка повинна бути спроможною, тобто при збільшенні кількості дослідів вона повинна наближатись до параметра а. По-друге, оцінка повинна бути незміщеною, тобто при викорстанні замість а не повинно виникати систематичної похибки в бік завищення або заниження (повинна виконуватись умова М[ ]=а). По-третє, незміщена оцінка повинна бути ефективною, тобто мати порівняно з іншими найменшу дисперсію (D[ ]=min).

Оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом називається точковою оцінкою. Але при невеликій кількості спостережнь точкова оцінка ненадійна. В цьому випадку необхідно застосовувати інтервальне оцінювання. Задача інтервального оцінювання – за даними вибірки побудувати числовий інтервал, відносно якого з наперед прийнятою ймовірністю можна сказати, що всередині цього інтервалу знаходиться оцінюваний параметр.

Нехай для параметра а з досліду одержана незміщена оцінка . Необхідно оцінити можливу при цьому похибку. Для цього призначимо деяку досить велику ймовірність β (наприклад, β=0,95 або 0,99) таку, що подію з ймовірністю β можна вважати практично достовірною, і знайдемо таке ε, для якого

. (6.16)

Тоді діапазон практично можливих значень похибки, яка виникає при заміні а на , буде ± ε; більші за абсолютною величиною похибки будуть з’являтись лише з невеликою ймовірністю α=1 – β.

Вираз (6.16) можна записати у вигляді

. (6.17)

У (6.17) інтервал для параметра а називається довірчим інтервалом. Довірчий інтервал – це інтервал, відносно якого можна з наперед прийнятою ймовірністю β, близькою до одиниці, стверджувати, що він містить невідоме значення параметра а. При цьому β називають довірчою ймовірністю.

Як приклад розглянемо задачу про довірчий інтервал для математичного сподівання. Нехай виконано n незалежних дослідів над випадковою величиною Х, характеристики якої – математичне сподівання m і дисперсія D – невідомі. Для цих параметрів за вибірковими даними одержані оцінки

і . (6.18)

Необхідно побудувати довірчий інтервал , що відповідає довірчій ймовірності β, для математичного сподівання m випадкової величини Х. При вирішенні цієї задачі скористаємось припущенням, що величина розподілена за нормальним законом, і знайдемо величину , для якої

. (6.19)

Величина визначається як

, (6.20)

де – коефіцієнт, який визначається за допомогою таблиці функції розподілу Лапласа за прийнятою β;

– середнє квадратичне відхилення оцінки ; ( виражається через D, величина якої нам не відома, тому в якості її орієнтовного, наближеного значення скористаємось оцінкою ).

Визначаємо

. (6.21)

Отже, або .