6.3. Статистична перевірка гіпотез

Дані вибіркових обстежень в багатьох випадках є основою для прийняття одного з кількох альтернативних рішень. При цьому через вплив механізму випадкового відбору будь – яке судження про генеральну сукупність, що базується на основі вибірки, буде супроводжуватись випадковою помилкою і тому повинно розглядатись не як категоричне, а як передбачуване. Такі передбачення про властивості і параметри генерального розподілу одержали назву статистичних гіпотез.

Суть перевірки статистичної гіпотези заключається в тому, щоб встановити, узгоджуються або не узгоджуються дані спостережень і висунута гіпотеза, чи можна розбіжність між гіпотезою і результатом вибіркового спостереження віднести за рахунок випадкової помилки, яка обумовлена механізмом випадкового відбору. Ця задача вирішується з допомогою спеціальних методів математичної статистики – методів статистичної перевірки гіпотез.

Статистична перевірка гіпотез має велике значення для практики. Зокрема, на ній базуються способи статистичного контролю якості виробленої партії продукції і контролю технологічного процесу виготовлення деталей.

Гіпотеза, яка підлягає перевірці, називається основною. Оскільки вона часто заключається в передбаченні відсутності систематичної розбіжності, або в нульовій розбіжності, між невідомими параметрами генеральної сукупності і заданою величиною, або між невідомими параметрами двох генеральних сукупностей, то її називають також нульовою гіпотезою і позначають через H₀ (наприклад, якщо гіпотеза стверджує рівність невідомого параметра заданій величині, це записується як H₀ : x=a). Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну або конкуруючу гіпотезу H_а.

Судження про сумісність вибіркових даних з гіпотезою, що перевіряється, робиться на основі прийнятого в дослідженнях критерію, керуючись яким відхиляють або не відхиляють (приймають) гіпотезу. Критерій визначає, які дані вибірки вважаються такими, що не протирічать гіпотезі, яка перевіряється, і при яких вона повинна бути відхилена.

Прикладами статистичних гіпотез та їх перевірки можуть бути приклади стосовно питань порівняння середніх значень двох сукупностей і порівняння дисперсій двох сукупностей, які часто мають місце при проведенні різноманітних досліджень.

6.3.1. Порівняння середніх значень двох сукупностей

Нехай маємо дві генеральні сукупності з середніми і і дисперсіями D_x і D_y. Висувається гіпотеза, що ці середні рівні, тобто H₀ : = . Для її перевірки з кожної генеральної сукупності проводиться вибірка: з першої – чисельністю n₁ з параметрами і D_вx, з другої – чисельністю n₂ з параметрами і D_вy. За цими даними необхідно перевірити основну гіпотезу. При цьому робиться додаткове припущення, що дисперсії обох сукупностей рівні – D_x=D_y. Це припущення потребує спеціальної перевірки.

Якщо обидві вибірки дость великої чисельності (в цьому випадку і за припущенням розподілені нормально), для перевірки використовується критерій

. (6.14)

Подальша перевірка здійснюється з використанням таблиці функції розподілу Лапласа. Якщо вибірки малої чисельності (n˂30) і застосування нормального розподілу може призвести до помилок, то для того ж критерію (6.14) використовується розподіл Стьюдента (при цьому кількість ступенів вільності буде f=n₁+ n₂ – 2). При гіпотеза H₀ відхиляється, при – приймається.