6. Застосування статистичних методів в дослідницькій роботі: одержання і обробка статистичної інформації

6.1. Числові характеристики випадкової величини та їх застосування для обробки і аналізу експериментальних даних

Одним з найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадковою називається величина, яка в результаті досліду (наприклад, вимірювань) може набути того або іншого значення, причому наперед невідомо, якого саме. Поняття випадкової величини відіграє також винятково важливу роль в інженерній діяльності, в конструкторській зокрема, оскільки ця діяльність відбувається «в середовищі» випадкових величин. Так, випадковими величинами є кількість стебел пшениці на 1 м² поля і кількість зерен у колосі, діаметр деталей з щойно виготовленої партії, а також величина їх спрацювання після N годин роботи, висота розміщення верхівок коренеплодів цукрових буряків над поверхнею грунту, величина тягового опору ґрунтообробної машини тощо. Перші два приклади є прикладами дискретних випадкових величин, що набувають лише окремих одне від одного значень, які можна наперед перерахувати; чотири наступні – це приклади безперервних випадкових величин, можливі значення яких безперервно заповнюють деякий проміжок.

Випадкова величина буде повністю описана з ймовірнісної точки зору, якщо для кожного її значення буде вказано, яку ймовірність воно має, тобто буде встановлений закон розподілу випадкової величини. Але у багатьох практичних питаннях немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю, вичерпно. Достатнім буває вказати лише окремі числові параметри, які в певній мірі характеризують суттєві риси розподілу випадкової величини. Користуючись такими характеристиками, ми можемо всі суттєві відомості про випадкову величину виразити з допомогою мінімальної кількості числових параметрів. Такі характеристики, призначення яких – виразити у стислій формі найбільш суттєві особливості розподілу, називаються числовими характеристиками випадкової величини.

Поміж числових характеристик випадкової величини перш за все необхідно відмітити ті, які характеризують положення випадкової величини на числовій на осі, тобто вказують деяке середнє, орієнтовне значення , біля якого групуються можливі значення випадкової величини. Середнім значенням випадкової величини є деяке число, яке являється її «представником» і застосовується замість неї в орієнтовних, приблизних розрахунках. Якщо ми говоримо «середній термін роботи деталі 10 тис. годин», то цим самим ми вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що визначає її місцеположення на числовій осі, тобто характеристику положення.

З характеристик положення найважливішу роль відіграє математичне сподівання випадкової величини, яке іноді також називають середнім значенням випадкової величини. Математичним сподіванням випадкової величини називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень, тобто

, (6.1)

де x_i – поточні числові значення (варіанти) випадкової величини;

p_i – ймовірності відповідних поточні числові значення випадкової величини.

Формула (6.1) для математичного сподівання відповідає випадку дискретної випадкової величини. Для безперервної величини X математичне сподівання виражається не сумою, а інтегралом, тобто

, (6.2)

де f(x) – щільність розподілу величини X.

Найбільш поширеним в розрахунках середнім значенням є середнє арифметичне (просте і зважене). Просте середнє арифметичне обчислюється за формулою

, (6.3)

де x_i – поточні числові значення (варіанти) випадкової величини;

n – кількість числових значень (варіантів).

Цією формулою користуються у випадку, коли всі числові значення зустрічаються у сукупності один раз або мають однакові частоти.

Середнє арифметичне зважене використовується тоді, коли числові значення досліджуваної випадкової величини повторюються неоднакову кількість разів. У цьому випадку формула для обчислення має вигляд

, (6.4)

де x_i – поточне числове значення (варіант) випадкової величини;

f_i – частота (кількість випадків появи) числового значення (частоту f_і ще можна розглядати як «вагу» відповідного числового значення у «загальній вазі» сукупності; звідси і назва – середнє арифметичне «зважене»).

Необхідно відмітити, що при невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів має випадковий характер; при суттєвому збільшенні кількості дослідів воно в значній мірі втрачає елемент випадковості і, стабілізуючись, наближається до постійної величини – математичного сподівання.

Обчислення середніх значень випадкових величин є важливим і необхідним елементом багатьох практичних (дослідницьких) задач, зокрема з визначення і порівняння розмірних характеристик різноманітних фізичних об’єктів. Наприклад, багаточисельними вимірюваннями було встановлено, що діаметр коренеплодів цукрових буряків складає 25…115 мм, а його середнє значення – близько 70 мм; діаметр коренеплодів кормових буряків складає 50…185 мм, а його середнє значення – близько 110 мм. Такі дані з розмірних характеристик коренеплодів є вихідним матеріалом при проектуванні робочих органів для їх збирання.

У дослідницькій роботі для характеристики досліджуваних явищ лише середніх значень замало, оскільки навіть при однакових їх значеннях різні сукупності можуть відрізнятись характером варіації величини досліджуваної ознаки. Середнє значення відображує лише загальні сторони, які властиві досліджуваній сукупності явищ, і не показує, як розміщуються (розсіюються) біля нього варіанти ознаки, а також не відображує індивідуальних особливостей, що породжують варіацію ознаки окремих елементів сукупності. Тому його необхідно доповнювати характеристиками розсіювання (варіації) числових значень (варіантів) випадкової величини.

Найбільш часто застосовуваними характеристиками розсіювання є дисперсія, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Дисперсія (латинське disperses – розсіяний, розсипаний) може бути обчислена за простим середнім арифметичним (найбільш поширений випадок) за формулою (для дискретних величин)

, (6.5)

де x_i – поточне числове значення (варіант) випадкової величини;

– середнє арифметичне.

Як видно з запису (6.5), дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини; для наочної характеристики розсіювання зручніше користуватись величиною, розмірність якої співпадає з розмірністю випадкової величини. Для цього з дисперсії добувають квадратний корінь. Одержана величини називається середнім квадратичним відхиленням і обчислюється за формулою

. (6.6)

Середнє квадратичне відхилення не завжди зручне для використання. Так, не можна порівнювати між собою середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, варіанти яких мають різні одиниці виміру (прикладом може бути питання порівняння ступенів варіювання діаметра коренеплодів цукрових буряків, вираженого в мм, і його ваги, вираженої в г; прикладом з тваринництва може бути питання порівняння ступенів варіювання надоїв у кг і жирності молока у % тощо). Далі, середнє квадратичне відхилення варіаційних рядів за своїм абсолютним значенням залежить не лише від варіації ознаки, а й від абсолютних рівнів варіантів і середньої.

Щоб порівняти середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, треба перейти від абсолютних показників варіації до відносних. Таким відносним показником варіації є відсоткове відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного. Це відношення називається коефіцієнтом варіації і визначається за формулою

% , (6.7)

де σ – середнє квадратичне відхилення;

– середнє арифметичне.

Чим менші значення σ і V, тим однорідніша сукупність явища.