29. Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии профильной школы. Методика изучения объемов фигур в курсе стереометрии. Методика использования интеграла при нахождении объема фигуры.
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело – объем тела как величина – объем прямоугольного параллелепипеда – объем треугольной призмы – объем призмы – тела, имеющие равные объемы – объем полной треугольной пирамиды – объем произвольной полной пирамиды – объем усеченной треугольной пирамиды – объем произвольной усеченной пирамиды – объемы подобных тел – объем тел вращения.
Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.
Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:
устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;
устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;
сравнение полученных значений отношений;
вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями:
a,1,1;
a,b,1; a,b,c.
При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:
проанализировать эмпирический материал;
математизировать эмпирический материал – построить определение;
составить алгоритм распознавания понятия;
включить понятие в систему понятий.
При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной трапеции.
Старшеклассникам следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для пирамиды и соответственно необходимость применения интегральных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие многогранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными.
30. Методика обучения решению позиционных и метрических задач на проекционном чертеже.
Позиционные задачи. К ним относятся задачи, решения которых позволяют определить взаимное расположение геометрических объектов.
При решении задач на построение на проекционном чертеже элементы, определяемые условием задачи, задаются на изображении оригинала (точки, линии, плоскости, геометрические тела пространства в любой из материальных реализаций или воображаемые). Для эффективного решения задач на построение используются полные изображения, построение на которых выполняются без какой бы то ни было степени произвола.
Как показал опыт преподавания, обучение решению задач на построение лучше начинать с обучения решению задач на проекционном чертеже, так как понимание этих задач не требует хорошо развитого пространственного воображения учащихся. Более того, в процессе решения этих задач пространственное воображение настолько развивается. Что с определенного момента учащимся становится посильно освоение задач на построение, решаемых в воображении. В этом случае учащиеся после знакомства с новым методом на примере решения одной- двух задач остальные решают самостоятельно.
Чтобы получить проекционный чертеж, позволяющий конструктивно определить общие элементы изображенных прямых и плоскостей, т. е. решить на изображении так называемые позиционные задачи, достаточно задать, кроме изображения точек, прямых, плоскостей и вообще пространственных фигур на плоскости чертежа, изображения их проекций на некоторую плоскость, называемую основной.
знать: роль и место темы «Изображение фигур в параллельной проекции» в школьном курсе математики; современные тенденции изучения темы в рамках курса геометрии старшей школы; математические основы методики обучения решению позиционных задач на проекционном чертеже; уметь: учитывать специфические особенности обучения решению позиционных задач на проекционном чертеже условиях профильного обучения; владеть: современными педагогическими технологиями, использование которых целесообразно при обучении решению позиционных задач на проекцион ном чертеже в школьном курсе стереометрии. Компетенции, в формировании которых может участвовать данная дисциплина : - способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики; - способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях. Основное содержание дисциплины: Методика изучения свойств параллельного проектирования на плоскость. Методика введения понятия изображения фигуры. Обучение построению изображений плоских фигур, многогранников в параллельной проекции, круглых тел и их комбинаций с многогранниками в параллельной проекции. Педагогические требования к чертежу. Понятие позиционной задачи. Методика обучения решения позиционных задач аксиоматическим методом, методом следов, методом внутреннего проектирования. Особенности использования информационных технологий при обучении решению позиционных задач на проекционном чертеже.