Понятие о напряжениях

Используя метод сечений, мы определяем во всех с лучаях внутренние усилия в виде сосредоточенных равнодействующих сил и моментов. В действительности внутренние усилия по характеру приложения являются распределенными и в общем случае они не одинаковы по поперечному сечению. Рассмотрим правую часть тела (рис.1.7б). Выделим на плоскости сечения площадку DF; по этой площадке будет действовать внутренняя сила DR (рис.1.9а).

Величина отношения DR/DF = р_ср называется средним напряжением на площадке DF. Истинное напряжение в точке А получим устремив DF к нулю:

.

Это напряжение называется полным напряжением в данной точке и в общем случае оно направлено под некоторым углом к плоскости сечения. Спроектировав полное напряжение на внешнюю нормаль n к сечению, получим нормальное напряжение в точке А , проекция полного напряжения на плоскость сечения даст касательное напряжение в точке А (рис.1.9б), где a. - угол между направлением р и внешней нормалью n (для попе речного сечения направление внешней нормали n совпадает с направлением оси z).

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что . Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей ОХ и ОУ (t_zх, t_zу). Размерность напряжений - Н/м3.

Если вокруг точки А мысленно вырезать параллелепипед, то по его граням будет действовать совокупность напряжений, показанных на рис.1.10.

Связь напряжений с внутренними силовыми факторами.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении тела связаны определенным образом с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Если рассмотреть элементарную площадку dF поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке напряжениями s, t_х, t_у, получим, что на площадку dF действуют элементарные силы s dF, t_хdF t_уdF. Тогда можно записать следующие интегральные зависимости:

Правила знаков для напряжений и внутренних сил

В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для напряжений.

Н ормальное напряжение σ считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке и отрицательным, если его направление обратно.

Касательные напряжения t считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью и отрицательными - в противном случае (рис.1.11).

Так как между напряжениями и внутренними усилиями существует интегральная связь, то правило знаков для внутренних силовых факторов обусловлено принятым правилом знаков для нормальных σ и касательных напряжений τ. Моменты приняты положительными, как и ранее, если они действуют против хода часовой стрелки. На рис.1.12 на левой отсеченной части показаны положительные направления внутренних силовых факторов N, Q_y, M_x, M_к, на правой, согласно условиям равновесия, внутренние усилия указываются в противоположном направлении.

П онятия о перемещениях и деформациях

Под действием внешних сил любое тело деформируется, т.е. его форма и размеры и зменяются, а точки тела меняют положение в пространстве. Пусть имеется тело с приложенными к нему силами Р_i. Мысленно через точку а в направлениях осей у и z проведем бесконечно малые отрезки ав и ас, длины которых dy и dz. После деформации бруса отрезки примут положение, изображенное штриховой линией (рис.1.13). Точка а переместится в положение а₁. Величина аа₁, равная изменению координат точки называется линейным перемещением точки а. Отрезки ав и ас займут новые положения а₁в₁ и а₁с₁. Их длины изменяются на Δdy и Δdz и называются абсолютными линейными деформациями. Угол между начальным положением отрезка ав и конечным - а₁в₁ - называются угловым перемещением b. Линейные перемещения измеряются в единицах длины, угловые - в радианах или градусах. Отношение приращения длины отрезка к его начальной длине представляет собой относительную линейную деформацию, т.е. . Аналогично . Линейные деформации величины безразмерные. Изменение первоначально угла между отрезками ав и ас после приложения к телу нагрузки, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию .

Совокупность линейных деформаций e по различным направлениям и угловых деформаций g по различным плоскостям, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точки.