1.9 Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины

Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины находят путем построения композиции распределения случайных погрешно-стей и НСП, рассматриваемых как случайные величины. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены, то границы погрешности оценки измеряемой величины вычисляются по формуле:



где К – коэффициент зависящий от соотношения случайной состав-ляющей погрешности и НСП.

Суммарное среднеквадратическое отклонение _ оценки измеряемой величины вычисляют по формуле:

  

где  - среднее квадратическое отклонение НСП;



где - границы НСП, которые определяются по формуле

17



где - доверительные границы НСП;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятно-стью, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.

Коэффициент К в зависимости от числа НСП определяется по эмпири-ческим формулам:

 

 

1.10 Форма записи оценки измеряемой величины

Правила округления при обработке результатов измерений. Погреш-ность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. Число цифр в промежуточных вычислениях при обра-ботке результатов измерений должно быть на две больше, чем в окончатель-ном результате. Погрешность при промежуточных вычислениях должна быть выражена не более чем тремя значащими цифрами. Сохраняемую зна-чащую при округлении увеличивают до единицы, если отбрасываемая цифра больше или равна пяти, и не изменяют, если она меньше пяти.

При симметричных доверительных границах погрешности оценку из-меряемой величины представляют в форме:

Числовое значение оценки измеряемой величины должно оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности .

18

2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ 15 ≤ n ≤ 50

2.1 Формируем таблицу исходных данных (табл. 3).

Таблица 3 – Результаты измерений (пример)

№ результата,	Результаты измерений xi,	№ результата	Результаты измере-
ni	мм		ний xi, мм
1	20,60	11	19,21
2	19,92	12	18,21
3	20,14	13	18,05
4	21,18	14	18,91
5	21,10	15	19,00
6	21,63	16	17,78
7	19,72	17	18,33
8	19,67	18	18,50
9	21,00	19	18,03
10	18,81	20	18,53

Примечание – В последующих расчетах результаты указаны без размерностей.

2.2 Исключение систематических погрешностей результатов измере-

ний.

Переменную систематическую погрешность выявляем и исключаем графическим методом. По оси ординат графика (рис. 2) откладываем резуль-таты наблюдений в порядке их получения, по оси абцисс – порядковый но-мер результата.

Полученные точки соединяем ломаной линией. По характеру зависи-мости выбираем линейную аппроксимирующую функцию вида:

где а₀, a₁ – постоянные коэффициенты;

n_i – порядковый номер результата измерений.

Значения коэффициентов а₀ и а₁ вычисляем методом наименьших квадратов по формулам:

19

Для расчета коэффициентов регрессии составляем вспомогательную таблицу 4.

Таблица 4 – Исходные данные для расчета коэффициентов регрессии

			Исходные данные
№ результата (ni)				Результаты измерений
				(xi)
1				20,60							20,6		1
2				19,92							39,84		4
3				20,14							60,42		9
4				21,18							84,72		16
5				21,10							105,5		25
6				21,63							129,78		36
7				19,72							138,04		49
8				19,67							157,36		64
9				21,00							189		81
10				18,81							188,1		100
11				19,21							211,31		121
12				18,21							218,52		144
13				18,05							234,65		169
14				18,91							264,74		196
15				19,00							285		225
16				17,78							284,48		256
17				18,33							311,61		289
18				18,50							333		324
19				18,03							342,57		361
20				18,53							370,6		400
Σ = 210				Σ = 388,32						Σ = 3969,84					Σ = 2870

20

Таким образом, зависимость изменения результата измерения от вре-мени может быть выражена функцией:

Для того, чтобы определить тесноту связи между рассматриваемыми величинами, необходимо вычислить коэффициент корреляции по формуле:

где		и - средние значения рассматриваемых величин.
Для расчета коэффициента корреляции составляем вспомогательную
таблицу 5.
Таблица 5 – Исходные данные для расчета коэффициента корреляции
ni		xi
1		20,60		-9,50		1,18				-11,21		90,25	1,39
2		19,92		-8,50		0,50				-4,25		72,25	0,25
3		20,14		-7,50		0,72				-5,40		56,25	0,52
4		21,18		-6,50		1,76				-11,44		42,25	3,09
5		21,10		-5,50		1,68				-9,24		30,25	2,82
6		21,63		-4,50		2,21				-9,94		20,25	4,90
7		19,72		-3,50		0,30				-1,05		12,25	0,09
8		19,67		-2,50		0,25				-0,63		6,25	0,06
9		21,00		-1,50		1,58				-2,37		2,25	2,48
10		18,81		-0,50		-0,61				0,31		0,25	0,37
11		19,21		0,50		-0,21				-0,11		0,25	0,04
12		18,21		1,50		-1,21				-1,82		2,25	1,47
13		18,05		2,50		-1,37				-3,43		6,25	1,87
14		18,91		3,50		-0,51				-1,79		12,25	0,26
15		19,00		4,50		-0,42				-1,89		20,25	0,18
16		17,78		5,50		-1,64				-9,02		30,25	2,68
17		18,33		6,50		-1,09				-7,09		42,25	1,18
18		18,50		7,50		-0,92				-6,90		56,25	0,85
19		18,03		8,50		-1,39				-11,82		72,25	1,92
20		18,53		9,50		-0,89				-8,46		90,25	0,78
Σ = 210		Σ = 388,32								Σ=-107,52		Σ=665,0	Σ=27,26
								21

Средние значения и определяются по формулам:

Коэффициент корреляции:

По величине коэффициента корреляции можно считать, что связь меж-ду результатом измерений и временем измерений существует сильная связь, т.е. в результатах измерений присутствует систематическая ошибка.

Для исключения систематических погрешностей в результаты измере-ний вводим поправку, определяемую по формуле:

где x_p – расчетное значение результата измерений, определенное по ап-проксимирующей функции.

Исправленный результат измерений определяется по формуле:

Для вычислений исправленного результата составляем таблицу 6. Рас-четные значения результатов измерений вычисляем по определенной выше аппроксимирующей функции

Таблица 6 – Расчет исправленных результатов измерений

№ п.п	xix	xpi
1	2	3	4	5
1	20,60	20,95	0	20,6
2	19,92	20,79	-0,16	20,08
3	20,14	20,63	-0,32	20,46
4	21,18	20,47	-0,48	21,66
5	21,10	20,31	-0,64	21,74
		22

Продолжение таблицы 6

1	2	3	4	5
6	21,63	20,15	-0,8	22,43
7	19,72	19,99	-0,96	20,68
8	19,67	19,83	-1,12	20,79
9	21,00	19,67	-1,28	22,28
10	18,81	19,51	-1,44	20,25
11	19,21	19,35	-1,6	20,81
12	18,21	19,19	-1,76	19,97
13	18,05	19,03	-1,92	19,97
14	18,91	18,87	-2,08	20,99
15	19,00	18,71	-2,24	21,24
16	17,78	18,55	-2,4	20,18
17	18,33	18,39	-2,56	20,89
18	18,50	18,23	-2,72	21,22
19	18,03	18,07	-2,88	20,91
20	18,53	17,91	-3,04	21,57

Полученные значения исправленных результатов наносим на график (рис. 2) и используем в дальнейших расчетах.

Рис. 2. Графический метод исключения систематических погрешностей

23

2.3 Оценка измеряемой величины.

Для удобства последующих расчетов составляем вариационный ряд

исправленных результатов (табл. 7).

Таблица 7 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм

№ результа-	Результаты	Вариационный	№ резуль-	Результаты	Вариационный
та	наблюдений	ряд	тата	наблюдений	ряд
1	20,6	19,97	11	20,81	20,89
2	20,08	19,97	12	19,97	20,91
3	20,46	20,08	13	19,97	20,99
4	21,66	20,18	14	20,99	21,22
5	21,74	20,25	15	21,24	21,24
6	22,43	20,46	16	20,18	21,57
7	20,68	20,6	17	20,89	21,66
8	20,79	20,68	18	21,22	21,74
9	22,28	20,79	19	20,91	22,28
10	20,25	20,81	20	21,57	22,43

Среднее арифметическое значение вычисляем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение вычисляем по формуле:

Cреднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения результата измерения определяется по формуле:

24

2.4 Обнаружение и исключение промахов из результата измерений. Вычисляем критерии Граббса G₁ и G₂, предполагая, что наибольший x_тах

или наименьший x_min результат измерений вызван грубыми погрешностями:

По таблице П1 приложений определяем табличное значение критерия Граббса при уровне значимости q = 0,05: G_T = 2,709.

Так как G₁  G_T и G₂  G_T, принимаем, что все результаты измерений должны быть сохранены в ряду результатов.

Критерий Ирвина. Определяем значения критерия Ирвина по форму-

лам:

По таблице П2 приложений определяем табличное значение критерия Ирвина при уровне значимости q = 0,05: λ_T = 1,3.

Так как λ₁  λ_T и λ₂  λ_T, принимаем, что результаты измерений не со-держат грубые погрешности.

Критерий Романовского. Определяем значения критерия Романовского для x_min = 19,99 и x_max = 22,44:

По таблице П3 приложений определяем табличное значение критерия Романовского при уровне значимости q = 0,05: β_Т = 2,78.

Так как β  β_Т принимаем, что результаты x_min = 19,99 и x_max = 22,44 не являются грубыми погрешностями.

25

Критерий Райта. Проверяем результаты x_min = 19,99 и x_max = 22,44 на возможность грубой погрешности.

Результаты x_min = 19,99 и x_max = 22,44 являются достоверными.

Критерий Диксона. Рассчитываем коэффициенты Диксона:

По таблице П5 приложений определяем табличное значения критерия Диксона при уровне значимости q = 0,05: r_q = 0,450. Так как выполняются условия:

и ,

считаем, что рассматриваемая совокупность не содержит грубых погрешно-стей.

2.5 Проверка гипотезы о принадлежности результатов измерений нор-мальному распределению.

При числе результатов измерений 15 ≤ n ≤ 50 нормальность распреде-ления проверяют с помощью составного критерия.

Для расчета составного критерия составляем вспомогательную таблицу

8.

Таблица 8 – Расчет составного критерия

xi					xi
1	2	3	4		5	6	7	8
19,97	-0,97	0,97	0,94		20,89	-0,05	0,05	0,00
19,97	-0,97	0,97	0,94		20,91	-0,03	0,03	0,00
20,08	-0,86	0,86	0,74		20,99	0,05	0,05	0,00
20,18	-0,76	0,76	0,58		21,22	0,28	0,28	0,08
20,25	-0,69	0,69	0,48		21,24	0,3	0,3	0,09
20,46	-0,48	0,48	0,23		21,57	0,63	0,63	0,40
				26

Продолжение таблицы 8

1	2	3	4	5	6	7	8
20,6	-0,34	0,34	0,12	21,66	0,72	0,72	0,52
20,68	-0,26	0,26	0,07	21,74	0,8	0,8	0,64
20,79	-0,15	0,15	0,02	22,28	1,34	1,34	1,80
20,81	-0,13	0,13	0,02	22,43	1,49	1,49	2,22
						Σ =11,3	Σ =9,87

Критерий 1. Вычисляем смещенное среднеквадратическое отклонение

*:

Определяем отношение :

По таблице П6 приложений определяем квантили распределения при уровне значимости q = 0,05:

Так как выполняется условие

считаем, что результаты измерений в ряду распределены нормально. Критерий 2. По таблице П7 приложений для числа измерений n = 20

при q = 0,05 находим P = 0,98. По таблице П8 приложений для P = 0,98 нахо-

дим: тогда:

Из таблицы 8 находим, что наибольшая разность т.е.

Таким образом, проверка по составному критерию показывает, что ре-зультаты измерений распределены нормально.

27

2.6 Доверительные границы случайной погрешности.

По таблице П12 приложений для доверительной вероятности Р = 0,95 определяем критическое значение коэффициента Стюдента: t_P = 2,093.

Абсолютная ошибка:

Нижняя доверительная граница:

н

Верхняя доверительная граница

в

Доверительный интервал:

• н

2.7 Форма записи оценки измеряемой величины Результат измерений записывается в виде:

что означает: результат измерений с вероятностью 0,95 находится в интерва-ле от 20,61 мм до 21,27 мм.

28

3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ n > 50

3.1 Результаты прямых многократных измерений представлены в таб-лице 9.

Таблица 9 – Результаты измерений (пример)

№ п.п	Результаты из-	№ п.п	Результаты из-	№ п.п	Результаты из-
	мерений, мм		мерений, мм		мерений, мм
1	19,33	18	19,94	35	20,29
2	19,36	19	19,95	36	20,3
3	19,38	20	19,95	37	20,35
4	19,4	21	19,96	38	20,4
5	19,61	22	20,02	39	20,4
6	19,65	23	20,03	40	20,4
7	19,66	24	20,05	41	20,43
8	19,68	25	20,06	42	20,46
9	19,7	26	20,07	43	20,47
10	19,71	27	20,11	44	20,51
11	19,74	28	20,12	45	20,51
12	19,82	29	20,12	46	20,69
13	19,83	30	20,2	47	20,71
14	19,87	31	20,21	48	20,73
15	19,87	32	20,25	49	20,75
16	19,88	33	20,25	50	20,76
17	19,88	34	20,28	51	20,85

3.2 Исключение систематических погрешностей результатов измере-

ний.

Переменную систематическую погрешность выявляем и исключаем графическим методом c использованием табличного процессора EXCEL в следующей последовательности.

В ячейки А3:А53 вводим порядковые номера результатов наблюдений «протягиванием»: в ячейку А3 записываем 1, в ячейку А4 – 2, выделяем эти ячейки, наводим указатель мышки на черный квадратик в нижнем правом

29

углу и тянем его при нажатой левой клавише мышки до требуемой ячейки. В ячейки В3:В53 вводим результаты измерений по данным своего варианта.

Выделяем ячейки А3:В53, с помощью команд «Встав-ка»→«Точечная»→«Точечная с прямыми отрезками и маркерами» на панели инструментов строим график зависимости результатов наблюдений от времени (линия «исходные данные», рис. 3).

Полученный график редактируем: с помощью команды «Формат» уста-навливаем рекомендуемые размеры: по высоте – 12 см, по ширине – 15 см; ус-танавливаем параметры осей: команды «Макет»«Оси»→«Основная горизон-тальная ось»→«Дополнительные параметры основной горизонталь-ной»→«Цвет линии» - сплошная черная, «Тип линии» - ширина 1,5 пт, анало-гично форматируется и вертикальная ось; устанавливаем фиксированные зна-чения параметров осей – «Макет»«Оси»→«Основная горизонтальная ось»→«Дополнительные параметры основной горизонтальной»«параметры оси»«минимальное значение» - 0, «максимальное значение» - 50, «цена ос-новных делений» - 5, «цена промежуточных делений» - 1, аналогично форма-тируем вертикальную ось; указываем вертикальные и горизонтальные линии сетки – «Макет»«Сетка»«Вертикальные линии сетки по основной оси»«Основные линии сетки»; указываем названия осей – «Макет» «На-звания осей».

Выделяем точки на диаграмме, нажимаем на правую клавишу и в поя-вившемся окне выбираем команду «Добавить линию тренда». Для выявления наиболее точно согласующейся с опытными данными функции поочередно выбираем линейную и полиномиальную линии тренда. При выборе аппрокси-мирующей функции отмечаем ячейки «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации».

Выбираем аппроксимирующую функцию, имеющую наибольшую ко-эффициент достоверности - полиномиальную функцию второй степени:

30

По величине достоверности аппроксимации R² = 0,888 принимаем, что

• результатах измерений присутствует систематическая ошибка. Отредактированный график копируем в документ Word – пояснитель-

ную записку (рис. 3).

мм	22
				1 - y = 0,0336x + 18,01					2 - y = 0,0051x2 - 0,2309x + 20,347
x,					R² = 0,1789						R² = 0,8883
,	21
измерений
	20
Результаты	19
	18
	17
	16
	0	5	10		15	20		25		30	35		40	45	50
									Порядковый номер результата измерений, n
				исходные данные					1 - линейная			2 - полиномиальная
					Рис. 3. Выбор аппроксимирующей функции

Для исключения систематических погрешностей в результаты измере-ний вводим поправку, определяемую по формуле:

где x_p – расчетное значение результата измерений, определенное по ап-проксимирующей функции.

Исправленный результат измерений определяется по формуле:

Для вычислений исправленного результата составляем в EXCEL вспо-могательную таблицу (табл. 10). Расчетные значения результатов измерений вычисляем по определенной выше аппроксимирующей функции, для чего в ячейку С3 вводим формулу аппроксимирующей функции в виде «=0,00512*A3^2-0,2309*A3+20,347». После нажатия клавиши «Enter» в ячей-

31

ке С3 получаем расчетный результат. Протягиванием этой ячейки получаем результаты в ячейках С4:С53. По приведенным выше формулам находим значение поправки, для чего в ячейку D3 введем формулу «=С4-20,14». По-сле нажатия клавиши «Enter» в ячейке D3 получаем результат. Протягивани-ем этой ячейки заполняем ячейки D4:D53. Аналогично находим значения ис-правленного результата, для чего в ячейку E3 вводим формулу «=B3-D3», нажимаем «Enter» и протягиванием этой ячейки заполняем ячейки E4:E53. Полученную таблицу копируем в пояснительную записку и оформляем в со-ответствии с примером (таблица 10).

В дальнейших расчетах используем исправленные результаты.

Таблица 10 – Исключение переменной систематической погрешности

Порядковый	Исходный ре-	Расчетное зна-		Исправленный
номер резуль-	зультат изме-	чение результа-	Поправка
				результат xиi
тата ni	рений xi	та xpi
1	2	3	4	5
1	20,43	20,14	0,00	20,43
2	20,49	19,92	-0,22	20,71
3	20,32	19,71	-0,43	20,75
4	19,88	19,51	-0,63	20,51
5	19,14	19,33	-0,81	19,95
6	18,41	19,15	-0,99	19,40
7	18,22	18,98	-1,16	19,38
8	18,43	18,83	-1,31	19,74
9	18,15	18,68	-1,46	19,61
10	18,53	18,55	-1,59	20,12
11	18,63	18,42	-1,72	20,35
12	18,28	18,31	-1,83	20,11
13	18,13	18,21	-1,93	20,06
14	18,38	18,11	-2,03	20,41
15	18,18	18,03	-2,11	20,29
16	18,12	17,96	-2,18	20,30
17	18,16	17,89	-2,25	20,41
18	17,82	17,84	-2,30	20,12
19	17,71	17,80	-2,34	20,05
		32

				Продолжение таблицы 10
1	2	3	4		5
20	17,66	17,77	-2,37		20,03
21	17,27	17,75	-2,39		19,66
22	17,56	17,74	-2,40		19,96
23	17,31	17,74	-2,40		19,71
24	17,55	17,75	-2,39		19,94
25	17,33	17,77	-2,37		19,70
26	17,53	17,80	-2,34		19,87
27	17,53	17,84	-2,30		19,83
28	18,16	17,90	-2,24		20,40
29	18,29	17,96	-2,18		20,47
30	18,29	18,03	-2,11		20,40
31	18,66	18,12	-2,02		20,68
32	18,14	18,21	-1,93		20,07
33	19,02	18,31	-1,83		20,85
34	18,8	18,43	-1,71		20,51
35	19,18	18,55	-1,59		20,77
36	19,28	18,69	-1,45		20,73
37	18,95	18,83	-1,31		20,26
38	18,73	18,99	-1,15		19,88
39	18,85	19,16	-0,98		19,83
40	18,84	19,33	-0,81		19,65
41	18,74	19,52	-0,62		19,36
42	19,27	19,72	-0,42		19,69
43	19,12	19,93	-0,21		19,33
44	20,32	20,15	0,01		20,31
45	20,71	20,38	0,23		20,48
46	20,5	20,61	0,47		20,03
47	20,6	20,86	0,72		19,88
48	20,86	21,12	0,98		19,88
49	21,2	21,40	1,26		19,95
50	21,89	21,68	1,54		20,35
51	21,53	21,97	1,83		19,70

Для добавления исправленных результатов измерений на график с по-

мощью команд «Вставка»→«Точечная»→«Точечная с прямыми отрезками и

33

маркерами» на панели инструментов строим график зависимости результатов наблюдений от времени, предварительно выбрав ячейки А3:В53. Выделяем мышью полученную кривую, правой клавишей выбираем команду «Выбрать данные». В открывшемся окне указываем «Добавить», на вкладке «Изменение ряда» указываем наименование ряда – Исправленные результаты, в строке «Значения Х» указываем порядковые номера результатов измерений (ячейки А3:А53), в строке «Значения Y» - исправленные результаты (ячейки Е3:Е53). Полученный график редактируем в соответствии с вышеприведенными реко-мендациями и копируем в пояснительную записку (рис. 4).

x, мм	22
,	21
измерений
	20
Результаты	19
	18
	17
	16
	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55
						Порядковый номер результата измерений, n

исходные данные Исправленные результаты

Рис. 4. Исправленные результаты

3.3: Оценка измеряемой величины.

Среднее арифметическое значение результатов измерений определяем с помощью команд «Формулы»→«Статистические»→«СРЗНАЧ», в строку «число 1» вводим адреса ячеек Е3:Е53 (исправленные результаты) и получа-ем результат:

34

Среднее квадратическое отклонение определяем с помощью команд «Формулы»→ «Статистические»→ «СТАНДОТКЛОН», в строку «число 1» вводим адреса ячеек Е3:Е53 (исправленные результаты):

Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений определяем по формуле:

3.4 Обнаружение и исключение промахов из результата измерений.

Для удобства дальнейших расчетов составляем вариационный ряд (табл. 11), для чего содержимое ячеек Е3:Е53 копируется в ячейки F3:F53 и упорядочивается с помощью команд «Сортировка и фильтр» → «Сортировка от минимального к максимальному».

Таблица 11 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм

№ результа-	Вариацион-	№ результа-		Вариацион-	№ результа-	Вариацион-
та	ный ряд	та		ный ряд	та	ный ряд
1	2	3		4	5	6
1	19,33	18		19,88	35	20,35
2	19,36	19		19,94	36	20,35
3	19,38	20		19,95	37	20,4
4	19,4	21		19,95	38	20,4
5	19,61	22		19,96	39	20,41
6	19,65	23		20,03	40	20,41
7	19,66	24		20,03	41	20,43
8	19,69	25		20,05	42	20,47
9	19,7	26		20,06	43	20,48
10	19,7	27		20,07	44	20,51
11	19,71	28		20,11	45	20,51
12	19,74	29		20,12	46	20,68
			35

Продолжение таблицы 11

1	2	3	4	5	6
13	19,83	30	20,12	47	20,71
14	19,83	31	20,26	48	20,73
15	19,87	32	20,29	49	20,75
16	19,88	33	20,3	50	20,77
17	19,88	34	20,31	51	20,85

Критерий Райта 3σ. Проверяем результаты х_min = 19,33 и y_max = 20,85 на возможность грубой погрешности.

Результаты x_min = 19,33 и x_max = 20,85 являются достоверными. Критерий Ирвина. Определяем значения критерия Ирвина по форму-

лам:

По таблице П2 определяем табличное значение критерия Ирвина при уровне значимости q = 0,05: λ_T = 1,1.

Так как λ₁  λ_T и λ₂  λ_T, принимаем, что результаты измерений не со-держат грубых погрешностей.

Критерий Смирнова. Наблюдаемые значения критерия при наимень-шем и наибольшем результатах соответственно:

Предельное значение критерия при уровне значимости q = 0,05 β _Т = 3,08, т.е можно считать, что исследуемая совокупность не содержит грубых погрешностей.

36

3.5 Проверка гипотезы о принадлежности результатов измерений нор-мальному распределению.

Проверку гипотезы по принадлежности результатов измерений нор-мальному распределению проведем с использованием критерия Пирсона.

Определяем число интервалов по формуле Стерджесса:

Принимаем k = 7.

Ширина интервала определяется по условию:

Принимаем h = 0,24.

Нижнюю границу первого интервала можно найти по выражению:

Принимаем

Верхнюю границу первого интервала определяем по формуле:

Середина первого интервала определяется по формуле:

Для остальных интервалов параметры определяем аналогично и ре-зультаты сведем в таблицу 12.

Таблица 12 – Параметры интервалов

№ интервала	Нижняя граница	Верхняя граница	Середина интервала
1	19,25	19,49	19,37
2	19,49	19,73	19,61
3	19,73	19,97	19,85
4	19,97	20,21	20,09
5	20,21	20,45	20,33
6	20,45	20,69	20,57
7	20,69	20,93	20,81

37

Для вычисления критерия Пирсона составляем вспомогательную таб-лицу 13.

Таблица 13 – Вспомогательная таблица для проверки распределения результатов измерений

Номер	Середина ин-	Частота,
интервала	тервала,	mi
1	19,37	4	-0,72	-1,8					0,079		2,4
2	19,61	7	-0,48	-1,2					0,194		5,9
3	19,85	11	-0,24	-0,6					0,333		10,2
4	20,09	8	0	0					0,399		12,2
5	20,33	11	0,24	0,6					0,333		10,2
6	20,57	5	0,48	1,2					0,194		5,9
7	20,81	5	0,72	1,8					0,079		2,4

Расчет частот в среде EXCEL ведем в следующей последовательности:

- в ячейки А3:А53 и В3:В53 Листа 2 Книги EXCEL вводим соответст-

венно порядковые номера и вариационный ряд результатов измерений;

– в ячейки D3:D9 вводятся верхние границы интервалов;

• на вкладке «Данные» выделяют строку «Анализ данных»;

• в открывшемся диалоговом окне выделяют процедуру «Гистограмма»

• нажимают кнопку «ОК»;

• в диалоговом окне задаются следующие параметры: «Входной интер-

вал» – анализируемые ячейки В3:В53; «Интервал карманов» – ячейки D3:D9; «Параметры вывода» – ячейка, начиная с которой вниз и вправо будут раз-мещаться результаты расчета (рекомендуется D11).

Если команда «Анализ данных» не доступен, необходимо его подклю-чить по схеме: кнопка Office → параметры EXCEL → надстройки → пакет анализа.

Значения центрированной нормированной функции Лапласа находим по таблице П9 приложений, например,

38

При расчете критерия Пирсона χ² необходимо, чтобы частота в каждом интервале была не менее 5, при этом допускается объединение соседних интерва-лов, в которых m_i < 5. Число укрупненных интервалов должно быть не менее 4.

• нашем случае в первом интервале частота менее 5, т.е. необходимо объединить первые два интервала и расчет критерия Пирсона выполнять по укрупненным интервалам (таблица 14).

Таблица 14 – Расчет критерия Пирсона

Номер ин-	Опытная частота в ук-	Теоретическая частота
	рупненных интервалах,	в укрупненных интер-
тервала
	myi	валах, mTyi
1	11	8,3		0,88
2
3	11	10,2		0,06
4	8	12,2		1,45
5	11	10,2		0,06
6	5	5,9		0,14
7	5	2,4		2,82
				= 5,41

По таблице П10 приложений при числе степеней свободы f = 3 и уров-не значимости q = 0,1 определяем нижнее и верхнее табличные значения критерия Пирсона:

Следовательно, рассматриваемая совокупность результатов измерений подчиняется закону нормального распределения.

Расчет критерия Пирсона может быть выполнен также в среде EXCEL. Для этого в ячейки Е3:Е9 записываем частоты m_i, определенные выше, в ячейках F3:F9 находим значения интегральной функции нормального рас-пределения с помощью мастера функций. Для этого в ячейке F3 в меню «Вставить функцию» в категории «Статистические» выбираем функцию

«НОРМРАСП». В строку «х» последовательно вводим верхние границы ин-тервалов ссылкой на соответствующие ячейки D3:D9, на вкладке «Аргумен-

ты функции» указываем среднее значение стандартное отклоне-

39

ние , в строке «интегральная» набираем «ИСТИНА» и получаем значения интегральной функции. Ячейки F4:F9 заполняем протягиванием ячейки F3.

Теоретическую вероятность (дифференциальную функцию) в ячейках

G3:G9 определяем как разность интегральной функции для верхней и нижней

границы интервала:

При этом в принимаем т.е в ячейку G3 копируем содержи-

мое ячейки F3. Для второго интервала значение дифференциальной функции

• ячейке G4 вычисляем по схеме: «=F4 - F3», остальные ячейки заполняем протягиванием.

Теоретическая частота для каждого интервала в ячейках Н3:Н9 опреде-ляется умножением дифференциальной функции на количество результатов

измерений				т.е. «=51*F3».
	Таблица 15 – Расчет критерия Пирсона в среде EXCEL
ki		mi	F(x)		f(x)		mTi		my	mTу	χ2
1	19,49	4		0,067		0,067	3,4		11	9,4	0,27
2	19,73	7		0,184		0,117	6,0
3	19,97	11		0,382		0,198	10,1		11	10,1	0,08
4	20,21	8		0,618		0,236	12,0		8	12	1,33
5	20,45	11		0,816		0,198	10,1		11	10,1	0,08
6	20,69	5		0,933		0,117	6,0		5	6	0,17
7	20,93	5		0,982		0,049	2,5		5	2,5	2,50

Σ= 4,43

Для проверки гипотезы о нормальности распределения результатов измере-ний определяем табличное значение критерия Пирсона с помощью мастера функ-ций. Для этого в категории «Статистические» выбираем функцию «ХИ2ОБР», вво-дим значение степени свободы. В строку «Вероятность» вводим значения ве-роятности (в долях от единицы), при которой табличное значение критерия будет больше рассчитанного. В рассматриваемом случает Р(χ²)  0,22, т.е вы-полняются условия:

40

что означает нормальность распределения результатов измерений.

3.6 Доверительные границы случайной погрешности.

Для расчета доверительного интервала необходимо с помощью стати-стической функции «СТЬЮДРПАСПОБР» мастера функций определить ко-эффициент Стьюдента t_Р для заданных доверительной вероятности и степени свободы n – 1. В рассматриваемом примере при q = 0,05 и n – 1 = 50 t_Р = 2,01.

Абсолютная ошибка:

Нижняя доверительная граница:

н

Верхняя доверительная граница

в

Доверительный интервал:

• н

3.7 Форма записи оценки измеряемой величины Результат измерений записывается в виде:

что означает: результат измерений с вероятностью 0,95 находится в интерва-ле от 19,97 мм до 20,21 мм.

41

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 8.376-2011. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результа-

тов измерений. Общие положения. – М.: Стандартинформ, 2013. – 19 с.

2. РМГ 29-2013. Государственная система обеспечения единства изме-

рений. Метрология. Основные термины и определения. – М.: Стандартин-форм, 2014. – 39 с.

3. ПМГ 96-2009. Государственная система обеспечения единства изме-

рений. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представ-ления. – М.: Стандартинформ, 2010. – 16 с.

4. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник /

А.И.Аристов, Л.И.Карпов, В.М.Приходько, Т.М.Раковщик. - М.: Издатель-ский центр «Академия», 2008. – 384 с.

5. Метрология, стандартизация и сертификация : учебное пособие /

О.А. Леонов, В.В. Карпузов, Н.Ж. Шкаруба, Н.Е. Кисенков .- М. : КолосС, 2009. - 568 с.

6. Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник /

А.Г.Сергеев, В.В.Терегеря. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2010. –

820. с.

7. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник /

Ю.И.Борисов, А.С.Сигов, В.И.Нефедов и др; под ред. А.С.Сигова. – М.: ФО-РУМ, 2009. – 336 с.

8. Третьяк Л.Н. Обработка результатов измерений: учебное пособие. – Оренбург, ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.

42

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица П1 – Критические значения G_T для критерия Граббса

			Одно наибольшее или одно наи-																Одно наибольшее или одно наи-
	n		меньшее значение при уровне зна-													n			меньшее значение при уровне зна-
				чимости																				чимости
			q > 0,01						q > 0,05												q > 0,01							q > 0,05
	3		1,155						1,155							21					3,031							2,733
	4		1,496						1,481							22					3,060							2,758
	5		1,764						1,715							23					3,087							2,781
	6		1,973						1,887							24					3,112							2,802
	7		2,139						2,020							25					3,135							2,822
	8		2,274						2,126							26					3,157							2,841
	9		2,387						2,215							27					3,178							2,859
	10		2,482						2,290							28					3,199							2,876
	11		2,564						2,355							29					3,218							2,893
	12		2,636						2,412							30					3,236							2,908
	13		2,699						2,462							31					3,253							2,924
	14		2,755						2,507							32					3,270							2,938
	15		2,806						2,549							33					3,286							2,952
	16		2,852						2,585							34					3,301							2,965
	17		2,894						2,620							36					3,330							2,991
	18		2,932						2,651							38					3,356							3,014
	19		2,968						2,681							40					3,381							3,036
	20		3,001						2,709
		Таблица П2 – Табличные значения критерия Ирвина λТ
		Уровень														Число измерений n
		значимости q			2				3				10		20				30				50	100			400		1000
		0,01			3,7				2,9				2,0	1,8					1,7			1,6		1,5			1,3		1,2
		0,05			2,8				2,2				1,5	1,3					1,2			1,1		1,0			0,9		0,8

ТаблицаП3 – Теоретические значения критерия Романовского β_Т = f (n)

Уровень			Число измерений, п
значимости q
	4	6	8	10	12	15	20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62
			43

Таблица П4 – Табличные значения критерия Смирнова β _Т

n	Уровень значимости q			n	Уровень значимости q
	0,1	0,05	0,01		0,1	0,05	0,01
2	1,632	1,955	2,575	15	2,457	2,705	3,207
3	1,818	2,121	2,712	20	2,559	2,799	2,328
4	1,943	2,234	2,806	25	2,635	2,870	3,351
5	2,036	2,319	2,877	30	2,696	2,928	3,402
6	2,11	2,386	2,934	40	2,792	3,015	3,480
7	2,172	2,442	2,981	50	2,860	3,082	3,541
8	2,224	2,490	3,022	100	3,076	3,285	3,723
9	2,269	2,531	3,057	250	3,339	3,534	3,946
10	2,309	2,568	3,089	500	3,528	3,703	4,108

Таблица П5 – Критериальные значения коэффициентов Диксона r_q

Коэффициент	Число из-				Уровень значимости q
	мерений, п
		0,1		0,05		0,02	0,01
	5	0,557		0,642		0,729	0,780
r10	6	0,482		0,560		0,644	0,698
	7	0,434		0,507		0,586	0,637
	8	0,479		0,554		0,631	0,683
r11	9	0,441		0,512		0,587	0,636
	10	0,409		0,477		0,551	0,597
	11	0,517		0,576		0,538	0,679
r21	12	0,490		0,546		0,605	0,642
	13	0,467		0,521		0,578	0,615
	14	0,462		0,546		0,602	0,641
	15	0,472		0,525		0,579	0,616
	16	0,452		0,507		0,559	0,595
	17	0,438		0,490		0,542	0,577
	18	0,424		0,475		0,527	0,561
r22	19	0,412		0,462		0,514	0,547
	20	0,401		0,450		0,502	0,535
	21	0,391		0,440		0,491	0,524
	22	0,382		0,430		0,481	0,514
	23	0,374		0,421		0,472	0,505
	24	0,367		0,413		0,464	0,497
	25	0,360		0,406		0,457	0,489
			44

Таблица П6 – Квантили				и					распределения
n
	1%							5%		99%			95%
16	0,9137							0,8884		0,6829			0,7236
21	0,9001							0,8768		0,6950			0,7304
26	0,8901							0,8686		0,7040			0,7360
31	0,8826							0,8625		0,7110			0,7404
36	0,8769							0,8578		0,7167			0,7440
41	0,8722							0,8540		0,7216			0,7470
46	0,8682							0,8508		0,7256			0,7496
51	0,8648							0,8481		0,7291			0,7518

Таблица П7 – Значения Р для вычисления z_P/2

	n		m			q2, %
					1	2	5
	10		1		0,98	0,98	0,96
11 - 14		1		0,99		0,98	0,97
15	– 20		1		0,99	0,99	0,98
21	– 22		2		0,98	0,97	0,96
	23		2		0,98	0,98	0,96
24	– 27		2		0,98	0,98	0,97
28	– 32		2		0,99	0,98	0,98
33	– 35		2		0,99	0,98	0,98
36 - 49		2		0,99		0,99	0,98

Таблица П8 – Значения верхнего квантиля распределения Лапласа z_P/2

Р	zP/2	Р	zP/2
0,96	2,06	0,98	2,33
0,97	2,17	0,99	2,58

45

Таблица П9 – Дифференциальная функция (функция плотности вероятности) зако-на нормального распределения

							Сотые доли
			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,0		0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
	0,1		0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
	0,2		0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
	0,3		0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
	0,4		0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
	0,5		0,3521	0,3503	0,3485	0,3478	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
	0,6		0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
	0,7		0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
	0,8		0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
	0,9		0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
	1,0		0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
	1,1		0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
	1,2		0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
	1,3		0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
	1,4		0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
	1,5		0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
	1,6		0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
	1,7		0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
	1,8		0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
	1,9		0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
	2,0		0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
	2,1		0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0388	0,0379	0,0371	0,0363
	2,2		0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
	2,3		0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
	2,4		0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
	2,5		0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
	2,6		0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
	2,7		0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
	2,8		0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
	2,9		0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
	3,0		0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
	3,1		0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
	3,2		0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
	3,3		0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
	3,4		0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
	3,5		0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
	3,6		0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
	3,7		0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
	3,8		0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002

46

Таблица П10 – Значения q – процентных точек						для распределения χ2
			Число степеней свободы
	1	2	3	4		5	6	8	10
99	0,0002	0,02	0,12	0,30		0,55	0,87	1,65	2,56
95	0,0004	0,10	0,35	0,71		1,15	1,64	2,73	3,94
90	0,016	0,21	0,58	1,06		1,61	2,20	3,49	4,86
10	2,706	4,61	6,25	7,78		9,24	10,64	13,36	15,99
5	3,841	5,99	7,82	9,49		11,07	12,59	15,51	18,31
1	6,635	9,21	11,35	13,28		15,09	16,81	20,09	23,21

Таблица П11 – Вероятность совпадения Р% по критерию согласия χ²

	N															P%
		95		90					80				70				50					30			20		10
1		0		0,02					0,06				0,015				0,045					1,07			1,64		2,71
2		0,10		0,21					0,45				0,71				1,39					2,41			3,22		4,60
3		0,35		0,58					1,00				1,42				2,37					3,66			4,64		6,25
4		0,71		1,06					1,65				2,20				3,36					4,88			5,99		7,78
5		1,14		1,61					2,34				3,00				4,35					6,06			7,29		9,24
6		1,64		2,20					3,07				3,83				5,35					7,23			8,56		10,6
7		2,17		2,83					3,82				4,67				6,34					8,38			9,80		12,0
8		2,73		3,49					4,59				5,53				7,34					9,52			11,0		13,4
9		3,32		4,17					5,38				6,39				8,34					10,7			12,2		14,7
10		3,94		4,86					6,18				7,27				9,34					11,8			13,4		16,0
	Таблица П12 – Критические значения коэффициента Стьюдента tP для различной
доверительной вероятности Р и числа степеней свободы n - 1
	n - 1						P									n - 1								P
			0,90				0,95				0,99									0,90				0,95			0,99
	3		2,353				3,182				5,841					12				1,782				2,179			3,055
	4		2,132				2,776				4,604					13				1,771				2,160			3,012
	5		2,015				2,571				4,032					14				1,761				2,145			2,977
	6		1,943				2,447				3,707					15				1,753				2,131			2,947
	7		1,895				2,365				3,499					16				1,746				2,120			2,921
	8		1,860				2,306				3,355					17				1,740				2,110			2,898
	9		1,833				2,262				3,250					18				1,734				2,101			2,878
	10		1,812				2,228				3,169					19				1,729				2,093			2,861
	11		1,796				2,201				3,106					20				1,725				2,086			2,845
													47

Таблица П13 – Исходные данные для обработки результатов многократных изме-рений при 15 ≤ n ≤ 50

Номер ре-					Номера вариантов
зультата	1	2	3	4		5	6		7	8	9	10
1	12,33	16,96	25,03	30,59		35,02	40,10		45,21	50,44	55,17	59,71
2	12,73	16,86	24,63	30,53		34,71	39,55		44,98	50,62	55,41	59,92
3	12,30	16,95	24,91	30,71		35,14	39,64		45,11	50,21	55,51	59,69
4	12,20	16,83	24,87	30,27		34,83	39,68		45,26	50,16	54,69	60,15
5	12,44	17,16	25,18	30,60		35,17	39,74		45,26	49,98	55,01	60,19
6	12,17	16,87	24,74	29,96		35,28	39,97		45,07	49,18	55,41	60,27
7	12,05	16,97	25,15	30,26		35,24	40,09		45,28	49,41	54,86	60,26
8	11,96	16,85	24,81	29,96		35,52	39,39		44,99	49,60	54,90	59,98
9	12,06	17,00	24,85	30,91		35,72	39,83		45,11	49,60	55,15	59,95
10	12,38	17,05	25,06	30,77		35,34	40,33		45,10	49,51	54,91	60,54
11	11,86	17,18	24,87	30,08		34,93	40,30		44,66	49,24	55,18	59,93
12	12,06	17,29	25,16	30,49		35,29	40,29		44,98	49,06	55,27	60,52
13	11,97	17,18	24,87	30,41		35,80	40,07		44,74	49,20	54,55	60,69
14	12,14	16,99	25,14	29,95		36,36	41,08		44,81	49,38	54,59	61,43
15	11,70	17,30	25,24	30,24		35,16	40,00		44,61	49,34	54,66	59,98
16	12,06	17,42	24,88	29,76		35,78	40,48		45,40	49,82	54,76	60,65
17	12,00	17,10	24,94	29,84		35,60	40,18		44,42	49,12	54,99	60,69
18	11,92	17,44	25,06	30,00		35,62	40,29		45,08	48,15	54,52	60,89
19	12,19	17,26	25,20	29,59		35,71	40,06		44,26	49,24	54,87	60,17
20	12,06	17,12	25,27	29,86		35,79	40,45		44,39	49,39	55,15	60,45
21	12,18	17,09	24,86	29,66		35,39	40,89		44,24	49,27	54,98	60,54
22	12,13	17,28	25,16	29,88		35,62			44,26	49,04	54,40	60,76
23	12,06	17,37	25,04	31,44		35,94			44,03		54,81	60,76
24	11,57	17,20	25,31	29,81		35,71					54,47	60,82
25	11,60	17,18	25,48	29,58		35,82					54,36
26	11,82	17,01	25,39	29,47							54,21
27	11,79	17,45	25,47	29,72
28	11,81		25,21	29,63
29	11,78			29,51
30	11,78

48

Продолжение таблицы П13

Номер ре-					Номера вариантов
зультата	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20
1	64,45	70,70	74,96	79,92		85,12	89,82	95,80	100,62	4,82	10,18
2	64,53	70,62	74,94	79,66		84,80	90,32	95,67	100,77	4,83	10,24
3	64,58	69,94	74,90	80,13		84,95	90,21	95,35	99,91	4,75	10,16
4	64,85	70,44	75,00	79,84		85,20	90,33	94,88	100,14	4,83	10,03
5	65,30	70,61	74,37	79,75		85,08	90,50	96,28	100,12	4,45	10,14
6	65,15	69,75	75,12	79,79		84,89	90,29	94,74	99,93	4,82	9,93
7	64,93	70,01	74,57	80,21		84,87	90,31	95,32	99,38	5,02	10,02
8	64,91	70,47	74,68	80,18		84,96	89,97	95,16	101,79	4,95	9,93
9	64,86	70,22	74,80	80,42		84,85	90,09	95,03	98,98	4,98	10,06
10	65,31	69,76	75,02	80,04		84,49	90,04	94,52	100,04	5,05	10,14
11	65,19	68,51	74,17	80,57		84,68	90,27	94,82	100,18	5,12	10,38
12	65,49	69,77	74,25	80,55		84,46	90,50	94,02	100,00	5,01	9,93
13	64,18	70,17	74,14	80,38		84,74	90,16	94,66	99,76	5,09	10,05
14	65,43	69,08	74,45	80,62		85,44	90,63	94,77	99,49	5,08	9,82
15	65,20	70,03	74,41	79,98		84,07	90,58	94,08	99,01	5,01	10,15
16	65,28	69,86	74,43	80,99		84,92	90,11	94,74	99,01	5,02	9,94
17	65,76	69,85	73,61	79,93		84,21	90,79	94,55	99,33	5,14	9,99
18	64,78	69,62	74,72	80,65		84,14	90,29	94,52	98,95	4,93	10,06
19	65,29	69,22	74,08	79,94		83,63	90,61	94,82	98,47	5,07	9,85
20	65,62	69,55	74,26	80,39		84,76	90,77	94,62	99,94	4,97	9,74
21	65,37	69,52	74,23	80,62		84,39	90,67		99,21	5,12	9,86
22	65,50	69,10		80,35		84,39	90,65		98,18	5,25	9,93
23		69,22				84,50	90,73		99,06		9,79
24						84,54	90,54				9,84
25							90,74

49

Таблица П14 – Исходные данные для обработки результатов многократных изме-рений при n > 50

Номер					Номер варианта
резуль-
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
тата
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	99,5	105,7	110,2	115,0	119,2	125,8	129,8	136,4	141,5	147,5
2	100,1	108,7	110,8	116,4	119,1	126,6	129,7	135,5	142,5	146,5
3	99,8	105,9	110,1	114,9	119,3	125,9	130,4	135,8	141,2	147,5
4	100,6	105,8	110,3	116,3	119,4	125,9	130,2	135,2	140,0	147,3
5	100,2	107,2	110,7	115,9	121,1	125,2	129,6	136,2	142,6	146,4
6	100,1	105,8	111,9	118,7	118,7	125,6	131,5	136,2	139,1	146,1
7	99,8	105,2	109,3	115,2	119,5	125,2	131,0	135,2	141,5	146,6
8	100,5	104,8	110,6	114,5	120,0	126,0	131,6	137,7	140,0	148,5
9	100,4	107,8	109,9	116,5	121,5	125,5	131,6	133,6	141,0	145,2
10	100,2	106,9	110,4	114,0	121,2	125,5	131,4	139,1	141,7	146,2
11	100,8	106,0	111,6	115,6	119,3	124,7	131,6	135,3	139,5	147,2
12	100,3	105,3	111,1	114,5	119,4	124,8	131,7	135,5	138,1	145,4
13	101,0	104,9	110,1	115,4	120,6	125,0	131,2	136,4	138,9	145,0
14	100,5	105,7	110,7	116,1	121,8	124,5	131,8	135,0	139,6	144,5
15	100,1	105,5	110,1	115,2	117,1	124,3	131,8	135,3	139,6	144,1
16	100,4	105,3	110,2	115,0	121,0	125,1	129,4	136,2	138,4	143,7
17	100,6	105,0	109,4	115,2	121,3	125,3	132,0	136,1	139,7	144,6
18	101,7	104,6	110,6	116,2	121,7	124,7	131,0	138,7	138,8	144,4
19	100,7	106,0	111,2	115,4	121,1	124,0	132,5	135,8	137,0	145,8
20	101,2	106,1	109,2	116,7	121,1	124,9	131,9	134,1	138,8	146,0
21	100,7	105,9	111,2	114,6	120,8	125,4	132,0	135,6	137,2	144,6
22	100,5	106,5	110,9	115,9	120,0	125,2	131,5	136,1	137,2	144,3
23	101,2	105,3	114,1	115,9	121,9	125,8	132,1	135,0	137,4	144,9
24	100,3	103,9	110,5	114,3	120,1	125,4	133,0	136,4	140,0	144,4
25	100,8	104,0	110,4	116,0	119,6	125,3	131,2	133,7	136,6	143,0
26	102,8	104,1	110,3	114,9	120,4	124,9	132,2	135,7	139,0	144,8
27	100,7	104,0	110,3	114,9	121,9	125,5	133,5	134,2	139,3	144,4
28	100,9	105,6	111,1	115,8	121,3	125,2	132,4	135,3	140,3	143,7
29	101,1	103,9	110,8	114,9	122,4	124,3	132,0	134,5	139,6	146,0
30	101,2	103,9	111,2	115,2	121,2	124,2	133,8	134,8	138,2	142,9
					50

Продолжение таблицы П14

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
31	101,3	103,6	111,0	116,2	122,1	124,2	131,9	135,5	137,9	144,3
32	100,3	105,6	109,4	115,6	121,0	124,9	130,9	133,4	139,1	142,7
33	100,3	103,7	110,1	115,7	123,0	124,3	131,8	136,5	140,3	145,0
34	100,9	105,3	109,0	115,7	121,3	124,7	132,1	133,9	140,0	143,6
35	100,7	104,3	109,2	114,9	119,9	124,3	131,8	134,4	139,2	144,6
36	101,0	104,3	109,4	115,2	122,1	124,3	131,9	133,4	140,0	143,8
37	100,1	104,9	110,8	115,8	122,0	124,9	131,0	134,0	137,5	144,2
38	100,5	105,0	109,5	115,8	119,4	125,1	131,5	133,6	138,9	144,4
39	100,8	104,9	111,1	114,2	118,9	124,6	131,3	135,2	139,2	145,2
40	99,9	103,7	109,6	115,7	121,8	126,0	130,6	134,0	139,4	145,0
41	100,9	106,4	109,5	115,8	118,2	121,6	131,0	134,2	140,1	146,8
42	100,5	103,6	110,2	115,0	119,9	124,0	133,0	134,7	141,0	142,9
43	99,9	104,6	108,3	114,6	117,4	124,3	131,5	134,2	140,4	144,3
44	100,3	104,4	108,3	114,5	119,2	124,7	130,8	134,5	139,3	145,0
45	99,9	102,6	108,1	115,0	119,4	124,5	130,8	133,0	140,9	149,4
46	100,7	105,4	110,1	114,4	118,0	124,3	131,4	134,2	142,0	146,2
47	99,9	104,3	109,7	114,7	119,4	124,3	131,1	133,5	141,1	146,4
48	100,1	104,0	109,4	114,1	119,5	124,4	129,9	132,9	140,8	146,9
49	99,9	102,8	108,7	113,5	118,6	124,9	131,8	133,1	142,1	146,5
50	100,2	104,8	109,3	113,6	117,4	125,0	130,7	132,0	142,7	146,7
51	100,2	104,3	109,2	113,1	119,3	124,7	131,2	132,9	142,5	146,8
52	100,2	104,4	108,2	113,4	118,4	124,1	130,4	132,2		146,7
53	99,9			113,6	115,9	123,0	130,6	132,3
54				113,2	117,6	123,5	129,7	133,2
55					119,9	123,3		131,8
56					118,7	124,3

51

Продолжение таблицы П14

Номер					Номер варианта
резуль-
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
тата
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	148,9	156,6	161,8	164,2	171,5	176,0	183,0	191,1	198,7	197,5
2	148,7	155,7	161,5	165,2	170,6	177,5	183,2	191,9	197,6	196,4
3	149,5	155,6	161,4	162,1	171,0	177,3	184,9	191,6	198,8	198,7
4	149,0	156,3	161,6	165,0	170,3	176,9	183,1	191,8	197,6	198,5
5	147,8	154,1	161,6	164,7	171,1	172,1	183,1	188,3	197,4	199,8
6	149,9	157,5	161,1	165,2	170,2	173,4	180,3	190,4	196,1	198,3
7	150,0	154,3	160,1	165,8	170,8	173,0	181,0	189,4	196,5	199,6
8	149,6	155,3	160,3	165,9	170,6	175,1	180,6	189,6	195,9	200,4
9	151,4	153,9	161,1	165,7	171,8	173,3	180,8	189,2	194,8	202,6
10	151,6	154,6	160,5	164,6	170,1	172,6	181,1	188,4	198,6	201,9
11	149,6	156,6	161,5	164,1	170,7	172,8	180,2	189,7	194,2	202,6
12	149,5	154,5	160,4	164,7	170,1	170,5	180,5	186,6	195,4	201,1
13	149,4	156,4	160,7	170,6	170,0	174,8	179,5	187,6	196,1	202,2
14	150,2	155,5	159,8	166,9	171,1	174,8	180,5	186,3	195,0	200,1
15	150,2	154,0	160,8	166,4	172,3	175,8	180,5	187,0	195,0	204,2
16	150,1	154,8	161,1	167,6	171,4	173,5	177,6	188,7	196,5	203,4
17	151,0	156,0	160,8	167,4	171,3	172,4	180,5	189,6	196,9	201,3
18	149,3	154,6	160,9	167,2	169,8	171,1	179,3	189,3	195,9	200,8
19	149,1	153,7	161,0	166,9	170,4	171,4	178,1	191,0	197,3	203,3
20	150,8	152,9	159,4	167,9	170,5	171,9	180,5	188,3	198,1	200,3
21	148,9	154,0	160,3	165,6	170,2	172,1	181,7	188,1	196,9	203,7
22	148,3	153,2	159,3	167,9	170,4	173,3	178,9	187,1	190,5	203,6
23	149,8	153,1	159,3	169,4	170,9	172,8	180,4	188,2	197,0	204,2
24	150,3	153,2	160,3	167,2	169,4	172,6	177,8	187,8	195,7	204,1
25	150,7	152,0	160,6	167,8	170,1	171,9	176,6	187,6	196,2	199,1
26	149,1	152,3	159,6	165,8	168,0	169,9	180,2	188,1	194,7	202,2
27	150,7	151,2	159,5	166,8	170,3	170,4	179,3	188,7	195,8	203,8
28	150,2	151,3	160,2	169,0	168,4	168,9	180,5	188,0	194,5	201,5
29	149,8	152,4	159,7	169,0	169,5	169,0	180,7	190,7	194,1	205,1
30	150,1	151,0	159,3	165,5	167,7	171,0	180,5	189,3	193,9	204,5
31	147,0	151,1	160,2	166,1	168,9	170,3	179,5	190,6	195,7	200,9

Продолжение таблицы П14

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
32	150,9	153,2	159,7	165,8	170,9	171,0	176,5	190,1	197,5	200,7
33	150,5	152,4	159,6	168,0	171,3	170,2	178,2	189,3	194,8	203,4
34	150,7	152,8	158,9	166,5	168,0	172,3	179,0	191,0	196,3	201,9
35	150,9	153,3	159,5	165,6	168,7	171,8	179,2	188,7	195,1	203,1
36	150,6	151,6	160,9	165,1	170,3	172,1	177,2	188,2	189,4	208,5
37	149,6	148,0	159,9	165,4	168,5	171,6	178,4	192,3	193,2	202,1
38	149,6	153,6	159,4	164,2	168,3	172,3	179,9	192,4	196,4	200,3
39	151,4	151,4	158,5	167,9	170,8	172,6	178,3	194,7	197,2	204,8
40	149,4	156,3	159,9	164,1	169,0	174,0	179,8	189,1	195,6	202,4
41	151,7	152,7	159,1	167,2	168,4	174,0	178,6	190,0	192,7	200,5
42	152,4	156,6	159,0	165,7	169,7	173,7	181,1	192,1	194,0	199,1
43	151,3	154,9	159,2	166,7	169,4	174,0	182,2	192,7	194,0	201,7
44	151,1	154,7	159,6	164,7	170,0	173,4	182,0	196,8	191,2	199,4
45	153,1	154,8	158,3	165,1	169,5	174,4	182,0	194,0	193,8	199,1
46	152,4	155,2	163,6	165,1	167,8	174,3	182,5	195,5	195,2	198,5
47	152,4	156,8	159,6	165,7	168,2	170,4	182,6	194,9	193,6	198,7
48	151,9	154,2	159,4	167,1	169,3	174,3	181,9	184,1	191,7	198,5
49	152,4	155,5	160,1	166,0	169,5	175,2	182,9	194,7	190,5	198,8
50	151,5	155,7	159,5	165,2	163,9	176,0	181,4	195,5	193,1	200,8
51	152,2	156,1	158,7	163,7	168,6	174,4	181,2	193,5	192,2	199,7
52	152,2	154,1	158,7	164,6	168,1	175,4	182,0	194,7	195,6	199,0
53		154,6	158,6	164,8		176,0	178,3	196,7	190,4	201,7
54		158,7	158,7	163,8		177,0	183,0	195,2	191,0	200,7
55				163,5		177,3	182,7	197,9		198,0
56				163,0		178,0	182,8	194,1		198,3
57						178,6		194,4

53

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

3

1. Порядок обработки результатов прямых многократных

Измерений		4
2.	Обработка результатов наблюдений при 15 ≤ n ≤ 50	19
3.	Обработка результатов наблюдений при n > 50	29
Литература		42
Приложения		43

54

Учебно-методическое издание

Лебедев Валерий Герасимович