2.2 Періодичні сигнали

Електричні коливання, які представляють собою зміну в часі струму, напруги, заряду або іншої величини, що відображають повідомлення, називаються радіотехнічними сигналами.

Найбільш важливим класом неперервних детермінованих сигналів є періодичні сигнали. Періодичні сигнали при -∞<t<+∞ задовольняють умові:

(1)

де k – будь-яке ціле число; Т– період сигналу. Найпростішим з періодичних сигналів, які широко використовуються в радіотехніці в якості вимірювальних, є гармонійне коливання:

(2)

де А₀ – амплітуда коливання ; ω₀=2∙π∙f₀ – кутова частота, f₀ – циклічна частота; φ₀ – початкова фаза коливання. Періодичний сигнал s(t) можна розкласти в ряд Фур'є. Тригонометричний ряд Фур'є визначається виразом:

(3)

Коефіцієнти а₀/2 (постійна складова), а_n ( косинусні складові), b_n ( синусні складові) розраховуються за формулами:

	(4)
	(5)
	(6)

Сукупність коефіцієнтів a_n і b_n називається спектром періодичного сигналу. Тригонометричний ряд Фур'є може бути записаний і в іншій формі:

(7)

(8)

(9)

Формули (8) і (9) показують, що коефіцієнти A_n і θ_n є, відповідно, модулем і аргументом комплексних чисел виду (a_n + jb_n), тому при введенні формул в системі MathCAD доцільно використовувати функції модуля і аргументу комплексного числа і записувати формули (8) і (9) у вигляді:

(10)

(11)

Коефіцієнти A_n, θ_n, a_n, b_n, пов’язані між собою виразами:

(12)

Сукупність коефіцієнтів A_n називається амплітудно-частотним спектром, а сукупність коефіцієнтів θ_n називається фазочастотним спектром періодичного сигналу s(t). Ряди (3) і (7) являють собою розкладання сигналу s(t) за гармонійними функціями. Самі функції виду:

(13)

…

називають першою, другою та n-ю гармоніками, відповідно, A₁, A₂, ... A_n – амплітудами, а θ₁, θ₂ ,.. , θ_n – початковими фазами гармонік.

Як випливає з формул (3-9 ), частотний спектр періодичних сигналів є дискретним або лінійчатим. Тому при побудові амплітудних і фазових спектральних діаграм необхідно відзначати значення амплітуд і фаз тільки на частотах 0, Ὠ, 2 Ὠ, ... n Ὠ. Спектральні діаграми мають вигляд сукупності ліній ("паличок"), висоти яких дорівнюють відповідним значенням амплітуд і фаз.

Наведені вище формули є загальними і справедливі для періодичних сигналів будь-якого виду. У разі, якщо періодичний сигнал s(t) парний або непарний, наведені формули для розрахунку амплітудного і фазового спектрів значно спрощуються і мають наступний вигляд:

для парного сигналу:

(14)

(15)

(16)

для непарного сигналу:

(17)

(18)

Формули ряду Фур'є (3) і (7) дозволяють точно синтезувати (відновити) сигнал з його спектру, проте в цих формулах виконується підсумовування нескінченно великого числа доданків. На практиці для синтезу сигналу використовують формулу з кінцевим числом доданків:

(19)

де N – обране число;

для парних сигналів формула (19) приймає вигляд:

(20)

для непарних сигналів

(21)

Основними енергетичними характеристиками дійсного сигналу s(t) є його потужність і енергія. Миттєва потужність сигналу:

(22)

Енергія періодичного сигналу визначається за формулою:

(23)

Середня за період потужність періодичного сигналу:

(24)

Ефективною (або активною) шириною спектра періодичного сигналу називається область частот, в якій зосереджена велика частина (не менше 90%) середньої потужності сигналу. Зазвичай активна ширина спектра визначається за обраним рівнем . Щоб знайти активну частину спектра, наприклад, за рівнем 0,05, необхідно на побудованій амплітудної спектральної діаграмі провести рівень, який відповідає 0,05 від значення амплітуди максимальної гармоніки, і визначити номер останньої гармоніки Na, величина якої перевищує обраний рівень. Потужність, що міститься в активній частині спектра, знаходиться за наступною формулою:

(25)

При синтезі сигналу по активній частині спектра підсумовування в виразах (20, 21, 22) виконується до значення N=Na.

Різниця між вихідним сигналом s(t) і сигналом, синтезованим за активної частини спектра sa(t), можна оцінити чисельно за допомогою середньоквадратичного відхилення:

(26)