35. Температурное поле. Температурный градиент. Условия однозначности.

Температурное поле

Распределение температуры в теле описывается с помощью уравнения:

В общем случае температура в теле изменяется в пространстве и во времени.

Если температура в данной точке не меняется по времени, т.е. , то такое температурное поле называется стационарным, если наоборот, если , то такое температурное поле называется нестационарным.

Если температура меняется только вдоль одной из координат (пусть х), то такое температурное поле называется одномерным:

Для двухмерного нестационарного температурного поля:

Температурный градиент

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, называют изотермической поверхностью. Эти поверхности не пересекаются и заканчиваются либо внутри тела, либо на его поверхности. Изменение температуры вдоль определённого направления характеризует градиент температуры.

Предел отношения изменения ΔТ к расстоянию между изотермами по нормали Δn называется градиентом температуры:

Из математики известно, т.к. объёмная производная скалярного поля является его градиентом, то для температурного поля эта производная будет градиентом температуры:

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры по данному направлению, [K/м]. Так как поле температурного градиента векторное, то символический вектор градиента:

Условия однозначности Эти условия включают в себя: геометрические, физические, начальные и граничные. Геометрические определяют форму и размеры тела. Физические условия характеризуют физические свойства тела. Начальные условия – распределение температуры в теле в начальный момент времени T 0) const . Граничные характеризуют условия теплообмена на границе раздела тела и среды. Граничные условия бывают I-рода – задана температура поверхности для любого момента времени. Для простейшего случая T пов  const. Граничные условия II рода – задан закон распределения плотности теплового потока на поверхности материала. При граничных условиях II-рода происходит нагревание и охлаждение в промышленных печах. III-рода – задан закон теплообмена между поверхностью тела и средой. Основной закон теплообмена – закон Ньютона-Рихмана, согласно которому плотность теплового потока между телом и средой прямо пропорциональна разности температур между ними:

Согласно 1-му закону термодинамики всё тепло, подведённое к поверхности тела теплопроводностью равно количеству теплоты, отданное этой поверхностью теплоотдачей:

Граничные условия IV-рода – условия сопряжения, сводятся к одновременному заданию температуры и тепловых потоков на границе раздела тел или фаз:

В дальнейшем: при граничных условиях I рода рассматриваем процессы теплопроводности, а при граничных условиях III рода рассматриваем процессы теплопередачи.

36. Тепловой поток. Закон теплопроводности Фурье. Коэффициент теплопроводности.

Количество тепла, проходящее через данную поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком Q, Вт или .

По гипотезе Фурье количество теплоты (в джоулях), проходящее путем теплопроводности через элементарную площадку dF за время dτ прямо пропорционально градиенту температуры:

Плотность теплового потока – количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу изотермической поверхности.

Количество тепла, через единицу поверхности в единицу времени, называется плотностью теплового потока или удельным тепловым потоком и характеризует интенсивность теплообмена.

Закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности. Французский ученый Ж. Б. Фурье в 1807 году установил, что плотность теплового потока через изотермическую поверхность пропорциональна градиенту температуры:

Это уравнение Био-Фурье. Если поверхность и время – величины конечные, то

Знак «–» в уравнении говорит о том, что вектор плотности теплового потока направлен в сторону противоположную градиенту температуры, т.е. теплота передаётся от более горячего к более холодному телу. Коэффициент пропорциональности λ – коэффициент теплопроводности.

Согласно формуле Био-Фурье коэффициент теплопроводности λ численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры равном единице. Это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при grad t 1 (1 К/м).

Коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту. Чем больше коэффициент теплопроводности, тем больше материал проводит теплоту, и наоборот. Коэффициент теплопроводности зависит от физических свойств материала, температуры, влажности, а для газов и паров – и от давления.

Для большинства материалов, как показывает опыт, эта зависимость может быть выражена линейной формулой:

 

где λ_o – коэффициент теплопроводности при 0 °С;

β – температурный коэффициент.

Согласно кинетической теории перенос теплоты теплопроводностью в газах определяется переносом кинетической энергии в результате хаотического движения и столкновения молекул между собой. Молекула, обладающая большей кинетической энергией, ударившись о молекулу с меньшей кинетической энергией, передает последней часть своей энергии, что приводит к выравниванию температуры в газе. Тогда для газов:

Для большинства капельных жидкостей теория Предводителева А.С. о том, что перенос теплопроводности капельной жидкости:

Для большинства жидкостей с ростом температуры коэффициент теплопроводности уменьшается. Исключение – вода и глицерин.

37. Теплопроводность через плоскую одно- и многослойную стенки при граничных условиях 1-го рода.

38. Теплопередача через плоскую одно- и многослойную стенки при граничных условиях 3-го рода.

39. Теплопроводность цилиндрической стенки при граничных условиях 1-го и 3-го рода.

40. Критический диаметр изоляции

41. Теплопроводность через одно- и многослойную шаровые стенки 1-го рода.

42. Теплопередача через одно- и многослойную шаровые стенки 3-го рода.

43. Общее решение уравнения одномерной нестационарной теплопроводности.

44. Охлаждение неограниченной пластины.

45. Регулярный режим нагревания (охлаждения) тел.