2.5.2 Уравнение энергии в механической форме. (Обобщённое уравнение Бернулли)

Согласно 1 закона термодинамики тепло, которым обладает выделенная масса соответствует внутренней энергии и тепла, соответствующего работе сил давления, т.е.

Q = C_p( T₂ - T₁) - ò₁² dP/r , (2.16)

с другой стороны тепло, сообщенное газу складывается из тепла, выделенного в результате потерь трения минус тепло, отведенное во вне,

т.е. Q = Q_Rk- Q_q, а т.к. Q_Rk = L_Rk , то

Q = L_Rk - Q_q (2.17)

Сопоставляя (2.16) и (2.17) можно записать:

Q = L_rk - Q_q = C_p(T₂ - T₁) - ò₁²dP/r , (2.18)

Из уравнения энергии в форме теплосодержаний

С_P(T₂- T₁) = H_т - Q_q - ( C₂² - C₁²)/2 (2.19)

Приравнивая правые части и решая относительно Н_т получим:

L_кu= ò₁² dP/ r + (C₂²- C₁²)/2 + L_Rk - для компрессора (2.20)

L_тu = ò₂¹ dP/ r + (C₁²- C₂²)/2 - L_Rk - для турбины (2.21) Эти выражения называют уравнением энергии в механической форме

(форма Б) или обобщенным уравнением Бернулли.

Для жидкости (в насосах)

ò₁²dP/r = (P₂ - P₁)/r , т.к.. r₁ = r₂= r (2.22)

тогда L_нu = (Р₂ - Р₁)/r + (C₂² - C₁²)/2 + L_RK (2.23)

2.5.3 Уравнение энергии для рабочего колеса турбомашины с учетом потерь вне контрольного пространства

Теоретическая работа не является идеализированной величиной. Она учитывает потери L_Rk, сопровождающие течение реального рабочего тела внутри выделенного контрольного пространства, т.е. при обтекании лопаток. Однако, в рабочем колесе всегда существует радиальный зазор, а лопатки располагаются на ободе диска, поэтому в уравнение энергии необходимо включить потери в радиальном зазоре L_заз и на трение о диск L_f.

Обозначая, в частности в компрессоре, через L_k всю работу, затраченную на сжатие и гидравлические потери и полагая, что L_заз и L_f равномерно распределяются между линиями тока по всей высоте лопаточного венца получим:

L_k = L_ku + L_заз + L_f = ò₁² dP/r + (С₂² - С₁²)/2 + L_RK + L_заз + L _f (2.24)

В ТУРБИНЕ с учетом потерь вне контрольного пространства

уравнение энергии примет вид:

L_T = ò₁²dP/r + (C₁²-C₂²)/2 - L_Rk - L_f - L_заз (2.26)

2.5.4 Уравнение энергии для ступени лопаточной машины

а) ОСЕВОЙ КОМПРЕССОР

Поскольку ступень осевого компрессора включает в себя два элемента: рабочее колесо, расположенное между сечениями 1 и 2 (рис.2.6) и направляющий аппарат (НА) между сечениями 2 и 3, то следует выяснить роль НА в работе сжатия ступени.

Уравнение энергии для НА запишется в виде:

L_{u на} = 0 = ò₂³dp/r + (C₃² - C₂²)/2 + L_{R на} (2.27)

Отсюда можно найти изменение статического давления в НА, произошедшее за счет изменения кинетической энергии:

(С₂² - С₃²)/2 = ò₂³dP/r + L_{R на} (2.28)

L_ku= ò₁³ dP/r + L_R + (C₃²-C₁²) (2.29)

Уравнение энергии в форме теплосодержаний (C_pT) иметь вид:

L_ku = С_р (Т₃ - Т₁) + Q_q + (C₃²-C₁²)/2 (2.30)

б) Для ОСЕВОЙ турбины в механической форме:

L _u= ò₂⁰ dP/r - L_R + (C₀²-C₂²)/2 (2.31)

В форме теплосодержаний:

L _u = C_p (T₀ - T₂) - Q_q + (C₀²-C₂²)/2 (2.32)

2.6. Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашины.

2.6.1 Уравнение Эйлера в 1-й ФОРМЕ

Ранее отмечалось, что сообщение энергии газу, или отбор её в турбомашинах осуществляется за счет взаимодействия потока с лопатками, расположенными на ободе диска, который вращается вокруг оси . К валу подводится или отводится мощность. Её величина может быть определена, если известна угловая скорость вращения и момент, приложенный к валу:

N = w M (2.33)

Момент, переданный массе газа, или отведенный от него можно вычислить рассматривая силовое взаимодействие потока и лопаток с использованием теоремы Н.Е.Жуковского о подъёмной силе крыла или системы крыльев (решетки профилей). Это требует точных данных о геометрических параметрах лопаток, которых на стадии проектирования обычно ещё нет.

С другой стороны момент, переданный массе газа, или отведенный от него можно определить, если иметь возможность сравнить момент количества движения массы газа (жидкости), протекающий через некоторый контур.

Применительно к элементарной массе, согласно теореме о моменте количества движения, производная по времени от момента количества движения частицы массой Dm относительно какой-либо оси равна равнодействующей моментов всех внешних сил, приложенных к данной массе, т.е. :

(2.34)

Если применить эту теорему ко всей массе жидкости, находящейся в каналах рабочего колеса,то её можно сформулировать следующим образом: «Изменение момента количества движения жидкости, протекающей через выделенный контур равно сумме всех моментов внешних сил, приложенных к жидкости, находящейся в межлопаточных каналах рабочего колеса.»

Проведем контрольную поверхность эквидистантно контуру рабочего колеса так, чтобы она плотно прилегала к нему, как это показано на рис. 2.9.

Рис.2.9

Для твердых частиц, составляющих конструкцию колеса момент количества движения можно записать в виде:

_тв DM_тв , (2.35)

где u = wr , а w - угловая скорость вращения колеса.

Суммируя момент количества движения всех частиц, находящихся в выделенном контуре, получим:

Sm +S SDM (2.36)

В правой части сумма моментов внешних сил состоит из момента, подведенного к валу ( М_z) на участке d-d и из момента сил трения на поверхности диска и бандажа рабочего колеса ( М _f), действующего против направления вращения. В эту сумму не входят силы внутреннего трения и давления, т.к. при сложении они взаимоуничтожаются.

Учитывая вышесказанное и обозначив S DM = М, запишем:

М = М _z - М _f (2.37)

Момент, приложенный к валу компрессора имеет положительный знак, т.е.

М = М _z – М_f (2.38)

в турбине, где момент отводится от вала - он отрицательный, т.е.

- M = - M _z + M _f , (2.39)

но поскольку в турбине M_z >M _f, (M _f » 10% M_z), суммарный момент внешних сил также всегда отрицательный.

Поскольку принято, что движение установившееся, w = const, то

S = 0 (2.40)

Получается, что момент внешних сил равен изменению момента количества движения частиц, находящихся в межлопаточных каналах рабочего колеса

S D M= SDm (2.41)

Момент количества движения изменяется:

1. потому, что частицы в мгновенной картине течения двигаются по определённой линии тока (конвективное изменение);

2. из-за неустановившегося течения в абсолютном движении, что отображается производной по времени момента количества движения.

Имея ввиду, что за некоторое время масса жидкости, находящаяся между поверхностями а-а^/ и b-b^/ изменит момент количества движения. Разность момента количества движения жидкости, проходящей через входное и выходное сечение рабочего колеса может быть записана в интегральной форме (с учётом осредненных по сечениям параметров) в виде:

М = С_u2 r₂ dG - С_u1 r₁dG , (2.42)

где dG = Dm₁/ dt = Dm₂ / dt при Dm₁= Dm₂ .

Переходя к суммарному расходу газа через колесо и имея ввиду осредненные по высоте лопаток значения С_u1 и С_u2, можно записать, в данном случае для компрессора, что момент количества движения частиц газа M = M_кт Его называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, сообщенным газу, а M_z=M_k моментом, подведенным к валу и затраченному на передачу газу теоретического момента с учетом потерь на трение газа о диск ,

тогда

M _k = M_кт + M _f . (2.43)

М_кт = G(С_u2 r₂ - C_u1r₁) (2.44)

В турбине момент количества движения жидкости протекающей через выделенный контур уменьшается, тогда по выражению (2.37) величина М будет отрицательна. её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, отобранным от газа в ТУРБИНЕ, тогда - М = - М_u и выражение (2.42) в осредненных параметрах для турбины будет :

- M _u = G(C _u2r₂ - C_u1r₁), (2.45)

но т.к. в турбине С_u1 > C_u2 , то в скобке будет отрицательная величина.

Тогда минусы в обоих частях равенства сократятся, а для того , чтобы в скобках получившаяся разность стала положительной, условились считать В ТУРБИНАХ проекцию абсолютной скорости на окружную, направленную против окружной скорости - положительной, тогда выражение (2.48) записывается в виде:

М_u = G(C_u1r₁+ C_u2r₂) (2.46)

У турбин обычно a₂< 90⁰ ( см. план скоростей на рис.1.8), поэтому принятое положительное направление С_u2 позволяет правильно определять величину в скобках.

Таким образом, на основании уравнения о моменте количества движения получены выражения, связывающие удельную работу, затраченную на сжатие газа в компрессоре (2.44) и отобранную у газа в турбине (2.46) в результате взаимодействия потока с лопатками.

Известно, что момент связан с мощностью на валу через угловую скорость:

Мw = N [вт ], (2.49)

тогда с учётом того, что wr = u

в компрессоре: N_кт = N_k + N_f = G(С_u2 u₂ - C_u1 u₂) ü

ý (2.50)

в турбине: N_u = N_т + N_f = G(C_u1u₁+ C_u2u₂). þ

Отношение мощности к расходу называют удельной мощностью или работой, подведенной или отведенной от одного килограмма рабочего тела.

В компрессоре удельную работу называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ и обозначают

L_ku= L_k - L_f = С_u2 u₂ - C_u1 u₁, (2.51)

где L_k - удельная работа, затраченная на сжатие газа в компрессоре.

В ТУРБИНЕ удельную теоретическую работу обозначают L_u:

L_тu= L _т + L _f = C _u1u₁+ C_u2u₂ , (2.52)

где L _т - удельная работа переданная от газа валу турбины.

Размерность удельной работы : Дж/кг, или в основных единицах м²/с².

В теории турбомашин выражения (2.51) и (2.52) называют уравнениями Эйлера в 1-й форме..

Видно, что уравнения Эйлера позволяют вычислять теоретическую работу по компонентам планов (треугольников) скоростей (рис. 1.3, 1.8).

ПРИМЕЧАНИЕ 1. «Теоретическая» работа не идеализированное понятие. В неё входят все гидравлические потери внутри контрольного пространства.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. В приведенных выше формулах величины С_u1 и C_u2 являются осредненными по шагу решетки на рассматриваемом радиусе, но без учёта полей скоростей по высоте лопаток. Влияние неравномерности полей параметров по высоте лопаток принято учитывать введением поправки W, называемой в компрессоре коэффициентом затраченной работы, а в турбине - коэффициентом уменьшения работы, т.е. в действительности

в компрессоре H_ктW = H_кт^{| ü}

ý (2.53)

в турбине H_u W = H_u^{| þ}

Величина W < 1 и @ 0,97-0,98.