2.6.4 Вторая форма уравнения Эйлера

Рассматривая, например, радиальное колесо компрессора и планы скоростей на входе и на выходе в нём (рис. 2.12) получим для относительных скоростей на входе и выходе: Рис. 2.12.

Рис.2.12

W₂²=C₂²+U₂²-2U₂C₂ cosa₂ ü

W₁²=C₁²+U₁²-2U₁C₁ cosa₁ þ

В этих выражениях С cosa=С_u соответственно в сечениях 1и2.

Вычитая из первого выражения второе получим:

(W₂²- W₁² _­)/2 = (C ₂²- C₁² )/2 + ­(U₂²- U₁² ) /2  - (U₂ C_2u - U₁ C_1u) (2.59)

Третий член справа есть выражение формулы Эйлера в первой форме, т.е.

(U₂ C_2u - U₁ C_1u) = Н_т, поэтому выражение (2.59) можно записать так:

Н_т = (W₁²- W₂²)/2 +(C ₂²- C₁²)/2 +( U₂² - U₁² )/2 (2.60)

Аналогичным образом можно получить формулу для теоретической работы турбины:

L_u = (W₂²- W₁²)/2 +(C ₁²- C₂²)/2 +( U₁² – U₂²)/2 (2.61)

Таким образом теоретическая работа может быть выражена в виде суммы разностей кинетических энергий на входе и выходе из рабочего колеса турбомашины в относительном, абсолютном и переносном движениях.

Выражения (2.60) и (2.61) называют уравнениями Эйлера во второй форме.

3. Термодинамические процессы в турбомашинах и их изображение в p-V, t-s и I-s диаграммах

Используя возможность наглядного представления процессов в термодинамических диаграммах можно отразить отдельные элементы уравнений энергии, получать физическое представление о влиянии ряда факторов на процесс энергообмена в турбомашинах, а при размерном отображении процессов вычислить величину энергии и оценить эффективность её преобразования, т.е. КПД турбомашины.

Ниже рассматриваются основные приёмы отображения отдельных составляющих уравнений энергии в различных термодинамических параметров: давление - удельный объём (P-V); температура - энтропия (T-S); энтальпия - энтропия (i - S).

3.1 Компрессор

3.1.1 Изображение процесса сжатия в компрессоре в P-V диаграмме

Рис 3.1

1). На рис.3.1 пл.( Р_v -в - V_в -0 ) ~ работе всасывания L_вс L_вс = Р_v V_в ;

(индекс v указывает на то, что параметр рассматривается в политропическом процессе)

2). пл.( в-к-V_в - V_в )~ работе политропического сжатия L_сж L_сж = ò Р dV

3). пл.( Р_к -к - V_к -0 ) ~ (соответствует) работе выталкивания (подачи)

При суммировании площадей (работ) следует иметь ввиду, что на энергию всасывания работа не тратится, поэтому можно её вычесть из общей работы, затрачиваемой на привод компрессора.

Тогда работа, затраченная на повышение давления от Р₂ до Р_к отобразится площадью в-к-Р_к -Р_в , расположенной слева от кривой, изображающей термодинамический процесс являетсяся политропической работой сжатия L_kv .

L_kv = òVdP = ò (dP/r) (3.1)

В соответствии с уравнением энергии в механической форме (в форме Бернулли) теоретический напор равен:

Н_т = ò (dP/r) + (С_к²- С_в² )/2 + L_R (3.2)

На Р-V диаграмме без специальных построений не отображаются потери и кинетическая энергия, поэтому получают представление лишь о величине политропическрй работы сжатия (формула 3.1).

Политропический процесс выражается условием: Pvⁿ = const.

Если принять что показатель политропы (n) в процессе сжатия n = const, то можно использовать уравнение энергии в тепловой форме:

L_kv = ò (dP/r)=(n/n-1)R(Т_к - Т_в) = (n/n-1)RТ_в[ (Т_к /Т_в - 1) (3.3)

Отношение температур можно заменить отношением давлений, т.к. они связаны по уравнению политропы:

(Т_к /Т_в ) = (Р_к/Р_в)^(n-1)/n , а (Р_к /Р_в) = p_к - степень повышения давления,

(Часто p_к называют «степенью сжатия». Однако, строго говоря, так называется отношение плотностей - e = (r_в/r_к) ).

С учётом изложенного, можно записать:

L_kv = ò (dP/r)=(n/n-1)RТ_в [p_к ^(n-1)/n - 1] (3.4)

Т.к показатель политропы зависит от величины потерь и тепловыделения, то часто для оценки энергообмена обращаются к идеализированному представлению процесса - изоэнтропичкескому, т.е. процессу без потерь. В этом случае показатель изоэнтропы (k) для определённого газа известен и вместо политропической работы сжатия, в частности в компрессоре, можно использовать выражение, аналогичное (3.4) , которое позволяет вычислить изоэнтропическую работу сжатия L_ks .

При n = k, т.е. при равенстве отведённого тепла dQ_q теплу потерь dQ_R, выражение (3.4) можно переписать:

L_ks =[ ò (dP/r)]_s=(k/k-1)RТ_в [p_к ^(k-1)/k - 1] (3.5)

С помощью Р-V диаграммы можно показать разницу (L_кv - L_ks)= D L, которую принято называть дополнительной работой сжатия (см.рис.3.2)

Рис.3.2

Отводом (подводом) тепла можно изменять показатель политропы.

При dQ <0, n < k, при n = 1 процесс изоэнтропический (см. рис. 3.3), т.е. процесс отображается правой крайней линией, если dQ >0, n > k .

Рис.3.3

В пределе n = ¥ - изобарный процесс - правая вертикальная линия на рис.3.3.

Величину D L иногда называют тепловым сопротивлением, т.к. она при отводе тепла тратится на компенсацию увеличения объёма газа при выделении тепла, соответствующего потерям, сопровождающим реальный процесс.

Иначе: при наличии потерь для повышения давления на заданную величину необходимо затратить энергии больше, чем это могло быть, если бы в результате выделения тепла потерь не увеличивался удельный объём газа.