НИУ МЭИ (МЭИ (ТУ))

Лабораторная работа по дисциплине: «Математическая статистика»

Тема: «Доверительные интервалы»

Вариант №5

Выполнил:

студент группы А-13-08

Бочаров Иван

Часть1. Уровень доверия

Уровень доверия Р_Д означает, что правило определения интервала дает верный результат с вероятностью Р_Д, которая обычно выбирается близкой к 1, однако, 1 не равно. Убедимся статистически на примере в том, что доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д может не содержать (с малой вероятностью 1- Р_Д) истинное значение параметра.

Пример

Рассмотрим приведенный в (5) случайный интервал I(x₁,...,x_n), который при любом значении а накрывает это значение с большой вероятностью Р_Д:

Испытаем интервал (5) на 50 выборках объема n=10 для трех уровней доверия Р_Д : 0.9 , 0.99 , 0.999 (соответственно, три значения f_p) .

При Р_Д = 0.9 число неверных из k =50 результатов окажется в окрестности 5, так как среднее число неверных

(1- Р_Д)*k = 5;

При Р_Д =0.99 появление хотя бы одного неверного из k =50 весьма вероятно: вероятность этого события

(1- Р_Д)*k=1-0.99⁵⁰ » 0.61;

При Р_д =0.999 появление хотя бы одного неверного весьма сомнительно: вероятность этого события

(1- Р_Д)*k=1-0.999⁵⁰ » 0.05.

Определим, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным. Выполним это для трех значений Р_Д.

Генерируем k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия σ² = 4.

Оценим средние:

Определим квантиль f_p порядка (1 + Р_Д)/2 нормального N (0, 1) распределения для P_д = 0.9

Аналогично, для Pд = 0.99: fp = 2.576; для Pд = 0.999: fp = 3.291

Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:

Значение среднего не попадает в k = 7 интервалов.

Значение среднего не попадает в k=1 интервал.

Среднее значение попало во все построенные интервалы.

Проведем аналогично 50 испытаний доверительного интервала для случая неизвестной дисперсии.

Дополнительно к оцененным средним оценим среднеквадратичное отклонение:

Для p = 0.9, 0.99 и 0.999 определим квантили уровня (1+Pд)/2 распределения Стьюдента с девятью степенями свободы:

Pд	fp
0.9	1,833113
0.99	3,249836
0.999	4,780913

Вычислим доверительные интервалы I(a1(x), a2(x)) для соответствующих уровней доверия по формуле:

  , 

Число интервалов, не содержащих среднее значение, равно 6

Число интервалов, не содержащих среднее значение, равно 1

Число интервалов, не содержащих среднее, равно 1 (наблюдаем очень редкое событие. Впоследствии перепроверены формулы, на других реализациях выборок число интервалов равно 0).

Вычислим доверительные интервалы для среднего нормального распределения при помощи сгенерированной выборки объема 20:

Pд	a1	a2
80%	9,31	10,628
90%	9,115	10,826
95%	8,935	11,007
98%	8,71337	11,228
99%	8,555	11,38664
99,9%	8,07	11,872

Определим верхние доверительные границы для среднего и среднеквадратичного отклонения с уровнем доверия P_д по формулам:

и , где t_p - квантиль порядка Р_Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а t₂ - квантиль порядка 1- Р_Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Вычислим квантили:

• порядка P_д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы: 1.833

• порядка 1- Р_Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы: 4,168

Только одна граница меньше значения среднего

Число верхних границ, меньших среднеквадратичного отклонения, равно 4.

Часть2. Задача для самостоятельной работы

Расстояние a до некоторого объекта измерялось n₁ раз одним прибором и n₂ ­- вторым; результаты . Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями s₁ и s₂ соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку a для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д.

Вариант исходных данных

№	n1	n2	s1, км	s2, км	РД	a, км
5	8	12	4	6	0.95	350

Для заданной задачи построить оценку заданным методом и построим доверительный интервал:

Сгенерируем выборки заданного объема и вычислим по ним необходимые характеристики:

Вычислим квантиль уровня 0.975 распределения N(0,1): 1,959964

Вычислим доверительный интервал по формулам:

I=(, )

Ответ: [349.395 ; 353.689] – доверительный интервал для заданной величины с уровнем доверия P_д =0.95