3. Методы статистических испытаний Монте-Карло.

Основная идея методов Монте-Карло, применяемых в задаче приближенного вычисления неизвестной величины , заключается в следующем:

1. подбирается случайная величина такая, что и известен метод получения величины ;

2. производится -кратное получение величины , результатом которого является вектор величин , в котором все величины имеют такое же распределение как и величина ;

3. вычисляется величина , которая используется в качестве приближенного значения .

Совокупность случайных величин , …, можно рассматривать как начальные величины некоторой последовательности , в которой все величины имеют одинаковое распределение, совпадающее с распределением , откуда . Если последовательность удовлетворяет закону больших чисел, тогда:

.

Отсюда следует, что всегда можно подобрать достаточно большое такое, что:

,

где и малые величины, то есть при достаточно больших величина с большой вероятностью отклоняется от лишь на малую величину не больше .

Вычисление числа .

Пусть в квадрате со стороной равной 1, размещена четверть круга радиуса 1, и пусть и – независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение . Образуем бинарную случайную величину:

которая равна 4, если точка со случайными координатами попадает внутрь круга, и равна 0 в противном случае. Вычислим математическое ожидание :

,

где – совместная плотность вероятности вектора . Поскольку и независимы и имеют равномерное распределение , то:

,

тогда,

.

Пусть , …, – пар случайных величин, в которых все величины попарно независимы и имеют равномерное распределение . Образуем совокупность величин , …, :

,

тогда на основании закона больших чисел:

.

Определение характеристик сложных случайных величин.

Пусть – совокупность случайных величин с плотностью вероятности , для которой известен метод получения реализаций, – некоторая известная функция и для случайной величины требуется определить какие-либо характеристики, например, значение функции распределения в некоторой точке или моменты.

Значение функции распределения случайной величины в точке определяется интегралом:

,

где – плотность вероятности вектора . В общем случае, аналитическое вычисление кратного интеграла по области может представлять определенные трудности, поэтому для приближенного вычисления используются методы статистических испытаний.

На основе случайного вектора образуем случайную величину:

.

Легко видеть, что математическое ожидание :

совпадает с неизвестной величиной , подлежащей определению. Пусть , …, – совокупность независимых случайных векторов, определим совокупность случайных величин , …, ,

тогда:

.

Заметим, что величина совпадает с величиной эмпирической функции распределения в точке (величины ).

Предположим, требуется вычислить математическое ожидание , где заданная функция (например, , тогда – математическое ожидание , или , тогда – дисперсия ). Определим случайную величину:

,

тогда . Пусть , …, – совокупность независимых случайных векторов, определим совокупность случайных величин , …, :

,

тогда,

.

Вычисление определенных интегралов.

Пусть – заданная функция, интегрируемая на отрезке , где и конечные числа, и требуется приближенно вычислить интеграл:

.

Задача вычисления интеграла с помощью методов статистических испытаний может быть решена двумя способами.

Первый способ: предварительно преобразуем интеграл с помощью замены переменных к виду:

,

где случайная величина имеет равномерное распределение . Пусть , …, – независимые случайные величины с равномерным распределением , определим величины , …, :

,

легко видеть, что , тогда:

.

Второй способ: поскольку интегрируема, то ограничена на отрезке , пусть при . Преобразуем исходный интеграл к виду:

,

где значения функции при . Пусть – случайный вектор, в котором и независимые случайные величины с равномерным распределением , образуем случайную величину :

.

Заметим, что математическое ожидание :

.

Пусть , …, – пар случайных векторов, в которых каждая случайная величина не зависит от остальных и имеет равномерное распределение . Образуем случайные величины , …, :

,

тогда,

,

.

Вычисление несобственных интегралов.

Пусть – заданная функция, для которой сходится интеграл,

,

и требуется вычислить приближенно значение .

В некоторых случаях удается ввести такую функцию плотности вероятности , что:

1. , ;

2. сходится .

Тогда, как легко видеть,

,

поэтому задача приближенного вычисления сводится к задаче приближенного вычисления математического ожидания , где случайная величина имеет функцию плотности вероятности .

Для приближенного вычисления математического ожидания достаточно составить метод получения независимых случайных величин , ..., , имеющих плотность вероятности , тогда:

.

Сравнение метода Монте-Карло и квадратурных методов.

Методы приближенного вычисления интегралов, представленные выше, допускают естественное обобщение на кратные интегралы, и как оказывается, при больших кратностях интегралов методы Монте-Карло имеют преимущество над квадратурными методами.

Квадратурные методы используют значения подынтегральной функции в узлах многомерной сетки, поэтому объем вычислений производимых квадратурными методами является величиной порядка , где – кратность интеграла и – постоянная, характеризующая средние вычислительные затраты на вычисление функции в одном узле (и некоторые усредненные затраты, связанные с умножением на вес узла и сложением). Методы Монте-Карло помимо вычисления значения функции требуют вычисления реализаций случайных величин (в частности ), поэтому постоянная, характеризующая вычислительные затраты на одно вычисление значения функции, оказывается больше . Тем не менее, при увеличении кратности увлечение количества суммируемых величин (увеличение происходит в силу требования достижения заданной точности) линейно зависит от , поэтому в результате вычислительные затраты в методах Монте-Карло являются величиной порядка , то есть линейно зависят от .

Экспериментальное сравнение выявляет преимущество квадратурных методов над методами Монте-Карло при небольших кратностях порядка и , однако, при кратностях порядка 8 и больше методы Монте-Карло имеют существенное преимущество над квадратурными методами.

Точность методов Монте-Карло.

Пусть в задаче приближенного вычисления неизвестной величины по методу Монте-Карло со случайной величиной ( и вектором независимых случайных величин ставится дополнительное условие о том, что вычисленное значение должно отличаться от на малую величину с вероятностью не меньше заданной (близкой к 1). Каким образом следует выбирать число суммируемых величин для удовлетворения дополнительного условия?

Формально дополнительное условие имеет вид:

.

Для оценки количества требуется вычислить вероятность в левой части неравенства, и для вычисления в некоторых случаях допустимо использовать независимость величин и асимптотическую нормальность суммы:

при ,

где

,

.

Таким образом,

,

Откуда,

,

,

,

.

(10.4)

Если дисперсия может быть вычислена аналитически, тогда из (10.4) можно определить число . Если же дисперсию не удается вычислить аналитически, то допустимо использовать верхнюю оценку , , вместо дисперсии в (10.4). В некоторых случаях в (10.4) вместо дисперсии используют выборочную дисперсию:

,

где .

Из соотношения (10.4) следует:

а) количество требуемых испытаний прямо пропорционально дисперсии , поэтому следует стараться выбрать величину таким образом, чтобы дисперсия оказалась как можно меньше (при условии, что ).

б) при увеличении точности в 10 раз ( ) требуемое количество слагаемых возрастает в 100 раз.

164