Экзаменационная программа (2010)

Комбинаторика

1. Правила сложения и умножения. Принцип Дирихле. Числа сочетаний и размещений (с повторениями и без повторений).

2. Бином Ньютона, полиномиальная формула. Тождество Паскаля. Свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов.

3. Формула включений и исключений.

4. Рекуррентные соотношения и формальные ряды. Действия с формальными рядами.

5. Линейные стационарные однородные рекуррентные соотношения и метод их решения. Последовательность Фибоначчи.

6. Комбинаторика разбиений. Рекуррентные соотношения для упорядоченных и неупорядоченных разбиений. Формула Харди-Рамануджана. Диаграммная техника.

7. Преобразование Абеля и суммирование по частям.

8. Простейшие оценки факториалов и биномиальных коэффициентов. Формула Стирлинга. Асимптотика для биномиальных коэффициентов.

Теория графов

9. Графы и их разновидности. Важнейшие семейства графов.

10. Изоморфизм графов. Вложение и пересечение графов. Симметрия графов.

11. Групповые свойства множества автоморфизмов графа.

12. Понятие об инварианте. Характеристики инвариантов. Примеры простейших инвариантов.

13. Связность в графах и орграфах. Слабая, односторонняя и сильная связность ориентированных графов.

14. Деревья. Различные определения деревьев и их эквивалентность.

15. Деревья. Коды Прюфера. Формула Кэли.

16. Деревья. Изоморфизм деревьев.

17. Структуры данных на основе деревьев. Бинарные деревья поиска и бинарные кучи. Декартово дерево и алгоритм его построения.

18. Лес непересекающихся множеств и подсчет числа компонент связности в обыкновенных графах.

19. Каркас. Построение каркаса минимального веса: алгоритмы Крускала и Прима.

20. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Флойда.

21. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Дейкстры.

22. Обходы графов. Обход в глубину. Дерево обхода в глубину и его применения: поиск точек сочленения, топологическая сортировка.

23. Обходы графов. Обход в ширину. Дерево обхода в ширину и его свойства.

24. Подграфы и их виды. Остовные подграфы. Каркас, клика, независимое подмножество вершин.

25. Пространство подграфов. Подграфы четной степени и их свойства.

26. Пространство подграфов. Фундаментальное множество циклов и метод его построения.

27. Задача о клике. Переборный алгоритм и простейшие методы сокращения перебора. Алгоритм Брона-Кербоша.

28. Задача коммивояжера. Динамический алгоритм. Алгоритм ближайшего соседа.

29. Хроматическая функция графа.

30. Вершинные и реберные раскраски графов. Алгоритм вершинной раскраски. Теорема Визинга.

31. Теорема Эйлера для планарных графов. Теоремы о 6- и 5-раскраске планарных графов.

32. Паросочетания и реберные покрытия. Метод увеличивающих путей.

33. Матроиды. Матричный матроид и графовый матроид.

34. Матроиды. Жадный алгоритм и теорема Рао-Эдмондса.