7. Составление первоначального опорного плана

ПН ПО	V1	V2	…	Vn	запасы
U1	с11	c21	…	с1n	a1
U2	c21	c22	…	с2n	a2
…	…	…	…	…	…
Um	сm1	cm2	…	сmn	am
потребности	b1	b2	…	bn

Решение транспортной задачи состоит из следующих этапов.

1. Определить модель транспортной задачи. Открытую модель привести к закрытой.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т. е. выполняется условие , называется закрытой; в противном случае - открытой.

Для открытой задачи возможны два случая:

1) суммарные запасы превышают суммарные потребности ( ). Тогда вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения с потребностью ; со стоимостью перевозок единицы груза .

2) суммарные потребности превышают суммарные запасы ( ). Тогда вводится фиктивный ( )-й пункт отправления с запасом груза a_m+1 = , со стоимостью перевозок единицы груза .

2. Составить первоначальный опорный план.

При составлении первоначального плана число заполненных клеток должно быть равно . Если число заполненных клеток меньше, то недостающее количество клеток считаем условно заполненными, вписывая в них нули (лучше в клетки, имеющие наименьшую стоимость).

Для определения опорного плана существуют различные методы. Среди них - метод минимальной стоимости, метод северо-западного угла.

Метод минимальной стоимости заключается в том, что из всей таблицы выбирают наименьшую стоимость , и в клетку, которая ей соответствует, помещают . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую пункту отправления, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий пункту назначения, потребности которого полностью удовлетворены. Из оставшейся части таблицы снова выбирают наименьшую стоимость и т. д. до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а потребности ^{удовлетворены.}

^Пример: Составить опорный план транспортной задачи, заданной следующей распределительной таблицей

П ПН О	V1	V2	V3	V4
U1	10	2	4	1	200
U2	3	5	9	6	250
U3	8	7	3	4	150
	200	180	100	120

Решение: Наименьшая стоимость, равная 1, находится в клетке (1, 4). В нее помещаем груз . Так как потребности пункта назначения V₄ полностью удовлетворены, то из рассмотрения исключаем четвертый столбец. В оставшейся части таблицы наименьшая стоимость, равная 2, находится в клетке (1,2). В нее помещаем груз Так как запасы пункта отправления полностью израсходованы, то из рассмотрения исключаем первую строку. В оставшейся части таблицы наименьшей стоимостью является стоимость, расположенная в клетках (2, 1) и (3, 3). В клетку (2, 1) помещаем груз и исключаем из рассмотрения первый столбец V₁. В клетку (3, 3) помещаем груз и исключаем из рассмотрения третий столбец V₃ . Остался только второй столбец V₂, для которого и . В результате получили опорный план X:

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составляет

Метод северо-западного угла состоит в том, что заполнение таблицы начинается с левой верхней клетки для неизвестного х₁₁. На каждом шаге рассматривается первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Составим опорный план уже рассмотренного примера.

Не учитывая стоимость перевозки единицы груза, заполнение таблицы начнем с клетки (1, 1). В нее вносим груз . Так как потребности пункта назначения V₁ полностью удовлетворены и запасы пункта отправления U₁ полностью израсходованы, то из рассмотрения исключаем первый столбец и первую строку. Первым из оставшихся пунктов назначения является V₂, а пунктом отправления -U₂, поэтому далее заполняем клетку (2, 2). В нее помещаем х₂₂ = min {a₂, b₂} = = min {250, 180} = 180 и исключаем из рассмотрения второй столбец V₂ . В клетку (2, 3) помещаем груз х₂₃ = min {а₂ - 180, b₃} = = min {70, 100} = 70 и исключаем из рассмотрения вторую строку U₂. Затем переходим к клетке (3, 3), в которую вносим груз х₃₃ = min {а₃, b₃ - 70} = min {150, 30} = 30 и исключаем из рассмотрения третью строку U₃.. Осталась одна свободная клетка (4, 4), которую заполняем, полагая, что

Однако, число заполненных клеток равно 5, а это меньше, чем , поэтому одну клетку считаем условно заполненной, вписывая в нее 0 (взяли клетку (1, 4), так как она имеет наименьшую стоимость с₁₄ = 1). В результате получили опорный план X:

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок составляет

Заметим, что опорный план, составленный методом минимальной стоимости, ближе к оптимальному плану.