Четвертая симплексная таблица

Таблица 3.4

БП	СЧ
	3	0	0	3/4	-9/4	0	1
	3	0	1	1/2	-1/2	0	0
	6	0	0	-3/2	3/2	1	0
	5	1	0	-1/4	3/4	0	0
С	50	0	0	3/4	11/4	0	0

Запишем оптимальное решение, содержащееся в табл. 3.4. Базисные

переменные равны свободным членам, т. е. , а свободные переменные (те, которых нет в столбце БП) равны нулю: . Элемент столбца СЧ строки С дает максимальное значение функции z : z_max = 50.

Замечание. Если задача решается на минимум целевой функции: то разрешающий столбец выбирается по наибольшему положитель­ному числу последней строки. Признаком неоптимальности является наличие положительных чисел в последней строке. Остальные правила алгоритма не меняются.

4. Понятие о проблеме двойственности в линейном программировании

С каждой задачей линейного программирования можно связать некоторую другую задачу, называемую двойственной. Первоначальную задачу при этом называют исходной. Оптимальный план одной из задач тесно связан с оптимальным планом другой задачи. В этой главе мы познакомимся с понятием двойственной задачи и основными теоремами, связанными с практическим использованием понятия двойственности при решении опти­мизационных задач.

Рассмотрим двойственную задачу в общей постановке.

I. Пусть ограничения исходной задачи имеют вид:

(4.1)

На множестве решений этой системы требуется максимизиро­вать функцию

(4.2)

Двойственной для этой задачи будет задача с ограничениями

(4.3)

и минимизируемой целевой функцией

(4.4)

Сравнивая обе задачи, нетрудно заметить, что:

1. Матрица из коэффициентов при переменных в исходной задаче

и аналогичная матрица в двойственной задаче

получаются друг из друга простой заменой строк столбцами с сохранением

их порядка. Такая операция получила название транспонирование.

2. В исходной задаче п переменных и т ограничений, в двойственной т переменных и п ограничений.

3. В правых частях систем ограничений каждой из задач стоят коэффициенты целевой функции, взятой из другой задачи.

4. В систему ограничений исходной задачи входят неравенства типа , причем в задаче требуется максимизировать целевую функцию F. В систему ограничений двойственной задачи входят неравенства типа , причем в двойственной задаче требуется минимизировать целевую функцию .

Исходная и двойственная ей задачи образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственный парой. Следует заметить, что за исходную задачу можно "взять" любую задачу из этой пары, для дальнейшего решения это несущественно.

Следующая таблица значительно облегчает процесс составления математической модели двойственной задачи.

	x1	x2	x3	…	xn
y1	a11	a12	a13	…	a11	b1
y2	a21	a22	a23	…	a11	b2
y3	a31	a32	a33	…	a11	b3
… … …	… … …	… … …	… … …	… … …	… … …	… … …
ym	am1	am2	am3	…	amn	bm
	c1	c2	c3	…	cn	b i ci

В первой строке таблицы записываются все переменные исходной задачи, в первом столбце записываются все переменные двойственной задачи. В последней строке стоят коэффициенты целевой функции исходной задачи, в последнем столбце - коэффициенты целевой функции двойственной задачи. В прямоуголь­нике, который получился в результате ограничения указанными строками и столбцами, записаны коэффициенты при переменных исходной задачи - это матрица исходной задачи.

Чтобы получить, например, первое ограничение двойственной задачи, надо найти сумму произведений чисел, стоящих в столбце под x₁ на соответствующие переменные первого столбца:

Считаем, что эта сумма не меньше .

Аналогично составляются и остальные ограничения для двойственной задачи. При этом устанавливается такое соответствие:

а) переменной х₁ исходной задачи соответствует первое ограничение двойственной задачи, переменной х₂ — второе ограничение двойственной задачи и т.д., переменной х_n - последнее ограничение двойственной задачи и наоборот;

б) переменной у₁ двойственной задачи соответствует первое ограничение исходной задачи и т. д., переменной у_т двойственной задачи соответствует последнее ограничение исходной задачи и наоборот.

Выражение для целевой функции получается как сумма произведений переменных первого столбца на соответствующие числовые значения последнего столбца.