3. Симплекс-метод. Табличный способ решения.

Основным методом решения задач линейного программирования является симплексный метод. На практике преобразования системы уравнений, проводятся в специальных таблицах, называемых симплексными. Это более удобно для решения задач на ЭВМ. Правила вычислений с помощью этих таблиц рассмотрим на следующем примере.

Пример 3.1. Найти наибольшее значение линейной функции

(3.1)

при следующих ограничениях на переменные:

(3.2)

Решение. Сначала систему ограничений (3.2) необходимо привести к каноническому виду . Для этого вводят дополнительные переменные, которые прибавляют к левой части каждого из неравенств (3.2). После этого преобразованная система (3.2) будет иметь вид:

(3.2^’)

Примем за базисные переменные дополнительные переменные . Тогда свободными переменными будут , т. е. все остальные переменные. Целевая функция z должна быть выражена через свободные переменные. В нашем примере функция z уже выражена через , поэтому она не требует дополнительных преобразований.

Итак, предварительные преобразования задачи состоят в том, чтобы систему ограничений преобразовать с помощью введения дополнительных переменных в систему уравнений, принять за базисные переменные дополнительные переменные, выразить целевую функцию z через свободные переменные.

После этого заполняется первая симплексная таблица.

Таблица 3.1

Первая симплексная таблица

БП	СЧ
	19	2	3	1	0	0	0	9.5
	13	2	1	0	1	0	0	6.5
	15	0	3	0	0	1	0	-
	18	3	0	0	0	0	1	6
С	0	-7	-5	0	0	0	0	-

В первую таблицу заносят исходные данные задачи, содержащиеся в системе (3.2') и уравнении (3.1). В табл. 3.1 приняты следующие обозначения: БП - базисные переменные. В этот столбец заносятся переменные , которые мы приняли за базисные. СЧ - свободные члены. В столбец СЧ заносят правые части уравнения (3.2'). Далее идет перечень всех переменных . В столбец , записывают коэффициенты, стоящие перед в уравнениях системы (3.2'). В третьем уравнении (3.2'). | отсутствует, т. е. коэффициент перед , равен нулю. Аналогично, в столбцы переменных заносят коэффициенты при этих переменных из системы (3.2'). Осталось объяснить, как заполняется последняя строка С. Эта строка отводится для коэффициентов целевой функции z (см. 3.1). В столбец СЧ записывают свободный член (т.е. постоянное слагаемое) функции z. В данном случае он равен нулю. В столбцы заносят соответствующие коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент при равен 7, поэтому в табл.3.1 записывается -7. Таблица 3.1 заполнена.

В таблице 3.1 содержится решение задачи (3.1) - (3.2): х₃= 19, х₄= 13, х₅= 15, х₆=18, х₁ = 0, х₂ = 0. (3.3)

Решение (3.3) называется опорным решением. Посмотрим, нельзя ли улучшить решение (3.3), т. е. нельзя ли, изменяя значения переменных , увеличить значение функции z (пока z = 0). Рассмотрим последнюю строку табл. 3.1, Она содержит отрицательные числа в столбцах . Это признак неоптимальности решения (3.3). Его можно улучшить. Для перехода к следующему улучшенному решению в табл. 3.1 выбирают разрешающий столбец и разрешающую сроку.

За разрешающий столбец принимается тот, который в последний строке С имеет наибольшее по абсолютной величине отрицательное число. (Среди других отрицательных чисел строки С). В табл. 3.1 это столбец . Он отмечается стрелкой. После этого определяется раз­решающая строка. Для ее определения составляют отношения свободных членов табл. 3.1 к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца ( ): 19:2 = 9,5; 13 : 2 = 6,5; 18:3 = 6.

За разрешающую строку принимается та, которая имеет наименьшее такое отношение. В табл. 3.1 эта строка х₆. Она также отмечена стрелкой. Эти отношения записывают в последний столбец табл. 3.1. Элемент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца называется разрешающим элементом. В табл. 3.1 он равен трем.

Теперь мы подготовились к тому, чтобы заполнить вторую симплексную таблицу, содержащую улучшенное решение. Во-первых, в табл. 3.2 изменяется состав базисных переменных. Из столбца БП надо вывести переменную , а на ее место поставить . На это указывают стрелки в табл. 3.1.