Федеральное Агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский институт (филиал)

Кафедра управления и информатики в технических системах

Линейное программирование

(Методы решения задач линейного программирования)

Учебное пособие

ЧЕБОКСАРЫ 2007

Содержание

1. Геометрическая интерпритация и графический способ решения задач линейного программирования ………………………………………..……4

2. Идея симплекс – метода……………………………….……...8

3. Симплекс – метод. Табличный способ решения …....10

4. Понятие о проблеме двойственности в линейном программировании………………………………………….….15

5. Математическая модель транспортной задачи…....18

6. Алгоритм решения транспортной задачи…………..…22

7. Сотавление первоначального опорного плана …...23

8. Примеры решения транспортных задач……………….26

Список литературы …………………………………………..……57

1. Геометрическая интерпретация и графический способ решения задач линейного программирования

Пример 1.1. Графическим методом определить оптимальное соче­тание посевов картофеля и кукурузы. Исходные данные приведены в таблице 1.

Исходные данные задачи

Таблица 1

Показатели	Карто­фель	Куку­руза	Объем производственных ресурсов
Площадь орошаемой земли, га	0,1	0,2	22
Трудовые ресурсы чел/дн.	20	8	1200
Цена продуктов руб.	80	75	-

Критерий оптимальности - максимум денежных поступлений от реализации продукции.

Решение. Задача состоит в том, чтобы при данных нормативах затрат производственных ресурсов и их объемов определить, сколько надо производить картофеля и кукурузы, чтобы получить максимум выручки от peaлизации продукции. Поэтому для составления математической модели обозначим через: тонн - количество картофеля, тонн - количество кукурузы, которое надо производить в хозяйстве при данных условиях. Составим ограничение по площади орошаемой земли. На одну тонну картофеля требуется 0,1 га, следо­вательно на тонн потребуется 0,1 га земли. Аналогично, на тонн кукурузы требуется 0,2 га земли. Под эти культуры отведено 22 га, поэтому должно выполнятся неравенство

(1.1)

Из таких же соображений запишем неравенство по использованию трудовых ресурсов:

(1.2)

Целевая функция - выручка от реализации продукции:

(1.3)

Таким образом, модель задачи имеет вид:

(1.4)

(1.5)

Для удобства обе части первого неравенства мы умножили на 10, а второго разделили на 4. Мы получили стандартную задачу линейного программирования.

Вместо неравенств системы (1.4) запишем строгие равенства и построим эти прямые. Из уравнения , при

Н анесем точки А и В на график и проведем через них прямую АВ. Для уравнения

Построим прямую CD.

Теперь вновь обратимся к неравенствам (1.4). Прямая АВ, соответствующая первому неравенству, разбивает плоскость на две полуплоскости. Какая из них отвечает первому неравенству системы (1.4)? Существует простое правило: если коэффициент перед больше нуля и неравенство вида , то такому неравенству отвечает левая полуплоскость, если неравенство , то правая. Заметим, что если коэффициент перед меньше нуля, то его можно сделать положительным, умножив обе части неравенства на и поменяв знак неравенства на противоположный.

В нашем примере обеим неравенствам системы (1.4) отвечают левые полуплоскости, отмеченные штриховкой на рис 1.1. Пересечение этих полуплоскостей, лежащих в первой четверти, дает четырехугольник OAMD. Этот четырехугольник - область допустимых значений , . В этой области надо искать оптимальное решение.

Теперь обратимся к целевой функции (1.5). Построим вектор , координатами которого являются коэффициенты: . Вектор показывает направление наибольшего возрастания функции . Значит, чем дальше мы возьмем точку, лежащую в области OAMD в направлении вектора , тем большее значение получим. В этом и состоит геометрическая интерпретация задачи (1.4) - (1.5) - найти точку, лежащую в области OAMD наиболее удаленную в направлении вектора .

Практически для определения этой точки проводят прямую N, перпендикулярную и мысленно сдвигают ее параллельно самой себе в направлении , наблюдая, через какую точку мы выйдем из области OAMD (точку касания прямой и OAMD) в данном случае это точка М.

Ее координаты дают оптимальное решение. Для определения координат точки М решаем систему уравнений АВ и CD, пересечением которых является М:

Вычитая из второго уравнения первое, получим , откуда

, следовательно . Подставляя эти значения в (1.5), находим, что

Ответ: если произвести 20 тонн картофеля и 100 тонн кукурузы, т. е. занять 2 га под картофель и 20 га под кукурузу, то будет получена наибольшая выручка в 9100 руб.

Метод решения, изложенный в этом параграфе, называется графическим методом линейного программирования.

Замечание 1. Графический метод удобно применять в случае двух переменных. Если число переменных больше или равно трем, обычно применяется симплексный метод (разделы 2, 3). Но есть один частный случай, когда можно воспользоваться графическим методом. Графический метод можно применять в случае, когда число неизвестных равно где - число уравнений системы ограничений. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 1.2. (1.6)

(1.7)

Решение. В системе ограничений 4 уравнения и 6 неизвестных. Выберем 4 переменные (по количеству уравнений) и выразим их через остальные переменные, т. е. через

(1.8)

Целевую функцию также выразим через подставляя в формулу (1.6) выражения из формул (1.8):

Отсюда, после приведения подобных членов, получим

(1.9)

Переменные в (1.8) должны быть неотрицательны при любых значениях , согласно условиям (1.7). Поэтому

(1.10)

(1.11)

Таким образом, задача (1.6) - (1.7) сводится к задаче (1.10) - (1.11) с двумя переменными.

Решим задачу (1.10) - (1.11) графическим методом. В плоскости построим область, соответствующую системе неравенств (1.10) и вектор (1, 1) См. рис. 1.2. Очевидно, максимум функции L находится в точке R.

Решая систему уравнений

находим координаты точки R:

(1.12)

Как видно из рис. 1.2, в точке R Осталось найти значения переменных Это можно сделать, подставив найденные значения (1.12) в выражения для из формул (1.10)

Максимальное значение целевой функции вычислим, подставляя значения из формул (1.12) в формулу (1.11):

Замечание 2. Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных системы ограничений (1.7):

(1.13)

Эта матрица содержит единичную матрицу коэффициентов при В общем случае матриц системы ограничений с помощью элементарных преобразований следует преобразовать к виду, аналогичному (1.13) и только после этого применять метод решения, описанный в примере 1.2.