Лабораторные работы / LAB7

№7.Оптимизация системы обслуживания упорядоченных требований.

Лабораторная работа № 7

Тема: Оптимизация системы обслуживания упорядоченных

требований

Цель работы: Изучение и практическое применение алгоритма составления оптимального расписания обслуживания упорядоченных требований.

Многие задачи планирования и управления требуют упорядочивания во времени фиксированной системы ресурсов для выполнения определённой совокупности работ. При этом часто выполняемые работы не являются независимыми, ту или иную работу оказывается возможным осуществить только после окончания выполнения других работ. Средством графического представления взаимосвязи во времени выполнения отдельных работ являются различные типы сетевых графиков. Мы будем использовать сетевые графики в форме “вершины-работы”, состоящие из последовательности выполнения работ (см. Рис. 7.1).

Пусть задано упорядоченное с помощью сетевого графика множество работ (требований), которые необходимо обслужить на одном обрабатывающем приборе (станок, ЭВМ и т. п.) начиная обслуживание в момент . Известны времена обслуживания всех требований. Одновременно прибор может обслуживать не более одного требования. Каждому требованию сопоставлена функция - штраф, который необходимо заплатить, если обработка k-го требования завершится в момент . Качество расписания будем оценивать функцией суммарного штрафа

Здесь - время окончания обслуживания k-го требования. Поставим задачи отыскания подстановки (расписания) , согласующейся с заданным сетевым графиком и доставляющей минимум функции .

Введём следующие определения. Множество будем называть допустимым, если не существует таких элементов (работ) и , что , так как работа опирается на работу . На рис. 7.1 а) допустимыми множествами являются {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4}. Множество {2,4} не является допустимым, так как работа 2 опирается на работу 1, не принадлежащую данному множеству.

Элемент назовём максимальным элементом множества Q, если не существует такого , что . Множество всех максимальных элементов Q обозначим . Например , для сетевого графика рис. 7.1 а) Q=3,4, где .

Пусть Q произвольное допустимое множество. Рассмотрим всевозможные согласованные с сетевым графиком последовательности обработки требований . Обозначим за наименьший суммарный штраф, соответствующий всем этим последовательностям. Положим . Заметим, что есть искомый минимальный суммарный штраф за обработку всех требований . Имеет место рекуррентное соотношение

(7.1)

Соотношение (7.1) лежит в основе следующего алгоритма построения оптимального расписания.

Алгоритм.

1.Полагаем .

2.Пусть уже рассмотрены все допустимые множестваQ, состоящие из (m-1) элементов. На m-м шаге выделяются все допустимые множества, состоящие из m элементов, и для каждого из них с использованием (7.1) находится величина , которая заносится в таблицу (см. Пример) вместе с тем номером k, для которого достигается минимум в (7.1).

3.Пусть рассмотрены все допустимые множества Q, состоящие из элементов, и для каждого из них найдены и значения k, доставляющие минимум в (7.1). Если при Q=N значение , полагаем и исключаем элемент из дальнейших рассуждений. Рассматриваем множество . Если ему соответствует , полагаем .

Продолжая таким образом, получим последовательность , которая и задаёт оптимальное расписание.

Пример: Множество работ упорядочено сетевым графиком

1

2

3

Времена выполнения отдельных работ и функций штрафа заданы таблицей

	1	2	3
	2	4	1

Решение: Результаты работы алгоритма представлены в следующей таблице

	Q
0	0	0	-
1	1 3	4 6	1 3
2	1,2 1,3	17 14	2 1
3	1,2,3	29	2

1. {1} {3}

2. {1,2} {1,3} {3,1}

3. {1,2,3}

{3,1,2}

Поскольку для значение , то в оптимальном расписании . Далее, для величина , следовательно, . Окончательно получаем оптимальное расписание . При этом минимальный суммарный штраф .

Задание к лабораторной работе № 7

k	1	2	3	4	5
tk	2	3	1	3	2
k(t)	2t-2+3	3t-5	2t2-3t+4	t-1	t2-t+4

1)

2)

k	1		2		3	4			5
tk	3		1		1	2			2
k(t)	max (0,t–4)		3t+2		2t+1–4	t2+t–1			2t
k	1	2		3			4	5
tk	2	3		2			2	1
k(t)	3t+1	t2–5		2t–3t+4			3t–1	max (t+2,7)

3)

k	1	2	3	4	5
tk	2	1	3	4	2
k(t)	2t+1	t2–1	2t–2	max (0,t–10)	t2+t

4)

5)

k	1	2	3	4	5
tk	1	3	2	3	2
k(t)	2t–2	t–3	2t–3	t2+4t–4	t2–t

6)

k	1	2	3	4	5
tk	3	1	2	1	2
k(t)	2t–1	t2–1	2t-1–4	t3+1	t+1

7)

k	1	2	3	4	5
tk	1	2	2	1	3
k(t)	3t–1	2t+1–1	t2+3t–4	t3–1	4t+1

8)

k	1	2	3	4	5
tk	1	3	2	1	2
k(t)	2t-1–2	2t+1–1	33–2t	2t–1	t2+1

9)

k	1	2	3	4	5
tk	2	3	2	2	1
k(t)	t2+2t–4	2t+3	max (t–4,0)	2t–1	t2–t+4

10)

k	1	2	3	4	5
tk	3	1	1	2	2
k(t)	2t+1	t2	t2–2t+2	t3–5	t–2

11)

k	1	2	3	4	5
tk	3	1	2	1	2
k(t)	2t-1–1	2t2–2	2t+1	t2–1	3t–2

12)

k	1	2	3	4	5
tk	1	3	2	1	2
k(t)	2t	t–3	2t2–2	2t-1+1	4t–5

13)

k	1	2	3	4	5
tk	1	3	2	3	1
k(t)	2t+2–6	t3–7	t2+2t–6	2t	t–5

14)

k	1	2	3	4	5
tk	1	3	1	3	1
k(t)	2t	t2+t	max (t–6,0)	2t+1	t2

15)

k	1	2	3	4	5
tk	1	1	2	1	3
k(t)	2t+1	t2–1	2t2–5	max (t+3,7)	2t–3

16)

k	1	2	3	4	5
tk	2	1	2	1	2
k(t)	2t–1	6–max (t–3,1)	t2+1	t3+2	3t+2

17)

k	1	2	3	4	5
tk	3	1	2	1	3
k(t)	2t+1–2	5t–6	max (6–t,0)	t3+2	3t2–4t+2

18)

k	1	2	3	4	5
tk	1	2	1	1	3
k(t)	2t-1	t3–t2+4t	2t+3–1	5t–6	t3–2t+4

19)

k	1	2	3	4	5
tk	1	2	1	2	3
k(t)	t2+t–1	2t+3	2t+2	max(0,5t–6)	t2–t+4

20)

k	1	2	3	4	5
tk	1	2	1	3	1
k(t)	2t2–1	2t+1–4	t3+2	t+1	2t–t