Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.
Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.
Сделайте выводы по результатам работы
Вариант 4.
Задание 1. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1.
Задание
2. Исследуйте
функцию
и постройте ее график.
Решение
Областью определения данной функции является все множество действительных чисел: D(f) = ( .
,
то есть функция четная.Функция непериодическая.
4. Для определения точек пересечения функции с осью х решаем биквадратное
уравнение:
,
.
Пересечение с осью y: f(0) = 1.
5. Найдем интервалы знакопостоянства функции: отметим на оси х точки пересечения функции с этой осью и определим знак исследуемой функции на каждом полученном интервале.
+ + + f(х)
-1 1 x
Функция
при всех х
кроме
и
.
6.
;
;
;
.
Вычисляем вторую производную и находим ее значение в критических точках первого рода:
;
;
;
,
то есть х
=
-1 – точка минимума функции, х
=
0 – точка максимума; х
=
1 – точка минимума.
8. Исследуем функцию на монотонность: отметим на оси х критические точки первого рода и определим знак первой производной на каждом полученном интервале.
- min + max - min +
-1
0 1 х
Первая
производная
имеет следующие знаки:
при
- функция убывает;
при
- функция возрастает;
при
- функция убывает;
при
- функция возрастает.
Результаты исследования приводятся в таблице:
-
x
(-; -1)
-1
(-1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; )
f(x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
8
-4
8
f(x)
убывает
min
0
возрастает
max
1
убывает
min
0
возрастает
9.
Для определения критических точек
второго рода приравниваем нулю вторую
производную
и находим:
и
.
10. Найдем интервалы выпуклости графика функции: отметим на оси х критические точки второго рода и определим знак второй производной на каждом полученном интервале.
+ - +
х
Вторая производная
при
положительна – функция вогнутая;
при
отрицательна – функция выпуклая;
при
положительна – функция вогнутая.
Обе критические точки являются точками перегиба, так как в них происходит изменение знака второй производной.
Результаты исследования приводятся в таблице:
-
х
(-; -1/
)-1/
(-1/ ;1/ )
1/
(1/ ;)
f(x)
+
0
-
0
+
f(x)
вогнутая
перегиб
4/9
выпуклая
перегиб
4/9
вогнутая
Пользуясь
четностью функции, построим график для
правой полуплоскости, а затем отразим
его симметрично относительно оси y.
Нанесем на график точки пересечения с
осями: (1; 0) и (0; 1). Точка (0; 1) является
точкой максимума; точка (1; 0) - точкой
минимума. В промежутке между этими
точками функция убывает, в точке
функция меняет свою вогнутость на
выпуклость. После х
=
1 функция возрастает.
Задание 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
.
Решение.
Положим 
,
откуда 
, 
.
Заменяем переменную и получаем:
Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
Задание 4. Найти неопределённый интеграл:
.
Решение.
Полагаем, что 
, 
.
Тогда 
, 
.
Находим:
Вывод. В ходе выполнения этой работы я научился вычислять пределы функции, проводить исследование функций с помощь производной. Закрепил навыки нахождения интегралов различными методами.
Практическая работа №2. Вычисление пределов функции. Применение производной к исследованию функции. Неопределенный интеграл. Нахождение неопределенных интегралов различными методами.
Цель работы. Сформировать навыки вычисления пределов последовательностей и пределов функций. Сформировать умение находить производные сложных функций, усвоить геометрический и физический смысл производной. Сформировать навыки нахождения неопределенных интегралов различными методами
Порядок выполнения работы: