9. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.

10. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

Сделайте выводы по результатам работы

Вариант 25.

Задание 1. Раскрыть неопределённость   и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Задание 2. Исследуем функцию   и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех  , область определения функции -- вся ось  .

2). Функция   -- нечётная, поскольку при смене знака   числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда  . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при   в виде  . Имеем:

Таким образом, асимптотой как при  , так и при   служит прямая  .

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:  , причём   -- единственное решение уравнения  . Значит, график   пересекает сразу и ось  , и ось   в начале координат.

Очевидно, что   при   и   при  .

6). Найдём производную:

Очевидно, что   при всех  ; единственная точка, в которой   -- это  . Значит, функция   возрастает на всей оси  , а в стационарной точке   имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

Знаменатель этой дроби положителен при всех  . Числитель имеет корни   и  , при этом   на интервалах   и   -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах   и   выполняется обратное неравенство  , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых  , то есть точки  , являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид: 

Задание 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим  , откуда  ,  ,  .

Тогда    (не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

.

Задание 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть  ,  . Тогда  ,  .

Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:

Вывод. В ходе выполнения этой работы я научился вычислять пределы функции, проводить исследование функций с помощь производной. Закрепил навыки нахождения интегралов различными методами.

Практическая работа №2. Вычисление пределов функции. Применение производной к исследованию функции. Неопределенный интеграл. Нахождение неопределенных интегралов различными методами.

Цель работы. Сформировать навыки вычисления пределов последовательностей и пределов функций. Сформировать умение находить производные сложных функций, усвоить геометрический и физический смысл производной. Сформировать навыки нахождения неопределенных интегралов различными методами

Порядок выполнения работы: