9. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.

10. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

Сделайте выводы по результатам работы

Вариант 24.

Задание 1. Раскрыть неопределённость   и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1.

Задание 2. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение

13. Областью определения данной функции является все множество действительных чисел: D(f) = (  .

14. , то есть функция четная.

15. Функция непериодическая.

4. Для определения точек пересечения функции с осью х решаем биквадратное

уравнение:

, .

Пересечение с осью y: f(0) = 1.

5. Найдем интервалы знакопостоянства функции: отметим на оси х точки пересечения функции с этой осью и определим знак исследуемой функции на каждом полученном интервале.

+ + + f(х)

-1 1 x

Функция при всех х кроме и .

6. ; ; ; .

7. Вычисляем вторую производную и находим ее значение в критических точках первого рода: ;

; ; , то есть х = -1 – точка минимума функции, х = 0 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

8. Исследуем функцию на монотонность: отметим на оси х критические точки первого рода и определим знак первой производной на каждом полученном интервале.

- min + max - min +

-1 0 1 х

Первая производная имеет следующие знаки:

при - функция убывает;

при - функция возрастает;

при - функция убывает;

при - функция возрастает.

Результаты исследования приводятся в таблице:

x	(-; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; )
f(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		8		-4		8
f(x)	убывает	min 0	возрастает	max 1	убывает	min 0	возрастает

9. Для определения критических точек второго рода приравниваем нулю вторую производную и находим: и .

10. Найдем интервалы выпуклости графика функции: отметим на оси х критические точки второго рода и определим знак второй производной на каждом полученном интервале.

+ - +

   х

Вторая производная

при положительна – функция вогнутая;

при отрицательна – функция выпуклая;

при положительна – функция вогнутая.

11. Обе критические точки являются точками перегиба, так как в них происходит изменение знака второй производной.

Результаты исследования приводятся в таблице:

х	(-; -1/ )	-1/	(-1/ ;1/ )	1/	(1/ ;)
f(x)	+	0	-	0	+
f(x)	вогнутая	перегиб 4/9	выпуклая	перегиб 4/9	вогнутая

Пользуясь четностью функции, построим график для правой полуплоскости, а затем отразим его симметрично относительно оси y. Нанесем на график точки пересечения с осями: (1; 0) и (0; 1). Точка (0; 1) является точкой максимума; точка (1; 0) - точкой минимума. В промежутке между этими точками функция убывает, в точке функция меняет свою вогнутость на выпуклость. После х = 1 функция возрастает.

Задание 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим  , откуда  ,  .

Заменяем переменную и получаем:

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Задание 4. Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Полагаем, что  ,  .

Тогда  ,  .

Находим:

Вывод. В ходе выполнения этой работы я научился вычислять пределы функции, проводить исследование функций с помощь производной. Закрепил навыки нахождения интегралов различными методами.

Практическая работа №2. Вычисление пределов функции. Применение производной к исследованию функции. Неопределенный интеграл. Нахождение неопределенных интегралов различными методами.

Цель работы. Сформировать навыки вычисления пределов последовательностей и пределов функций. Сформировать умение находить производные сложных функций, усвоить геометрический и физический смысл производной. Сформировать навыки нахождения неопределенных интегралов различными методами

Порядок выполнения работы: