3.3 Інтерполяційний поліном Ньютона

Розглянемо форму запису інтерполяційного полінома Р_n(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будемо використовувати таке поняття, як розділені різниці функцій.

Нехай маємо функцію f(x) і не обов"язково рівновіддалені вузли інтерполяції х_і (і=0, 1, 2, … , n).

Розділеними різницями 1-го порядку називають величини, які мають зміст, наприклад, середніх швидкостей зміни функції:

(25)

Розділені різниці другого порядку визначаються співвідношеннями

(26)

Аналогічно, розділена різниця k−го порядку визначається через розділені різниці (k−1) порядку за рекурентною формулою:

. (27)

Тепер перейдемо безпосередньо до самого інтерполяційного полінома Ньютона. Маємо, наприклад, один вузол інтерполяції х₀.

Виходячи із визначення розділеної різниці 1−го порядку f(x; x₀), маємо:

Для розділених різниць другого порядку (два вузли − х₀, х₁), мають місце такі співвідношення:

Підставляючи це значення у формулу для f(x)

Повторюючи цей процес, отримаємо (для n+1 вузлів інтерполяції):

(28)

Оскільки Р_n(x) − інтерполяційний поліном для функції f(x), то його значення у вузлах інтерполяції співпадають із значеннями функції f(x) (а, значить, і співпадають і розділені різниці):

Р_n(x_і) = f(x_і) = у_і, (і= ),

оскільки залишковий член в цих вузлах має вигляд:

Змінна х приймає значення х₀, х₁, … , х_n, тому один із співмножників завжди рівний 0, через те залишковий член у вузлах інтерполяції дорівнює нулю.

Тому замість (28) можна записати:

_. (29)

Це і є інтерполяційний поліном Ньютона з розділеними різницями.

Для того, щоб пересвідчитись, що інтерполяційний поліном приймає значення у_і в вузлах інтерполяції х_і, візьмемо два вузли х₀ та х_1.

Тоді має місце таке співвідношення:

n = 2 f(x) = y₀ + (x − x₀)f( x₀ ; x₁) + (x − x₀)(x − x₁)f(x; x₀; x₁).

При x = x₁ співвідношення має вигляд:

f(x₁) = y₀ + (x₁ − x₀)(f(x₁) − f(x₀))/(x₁ − x₀) = у₀ + f(x₁) – f(x₀); f(x₁) = f(x₁).

Якщо маємо чотири вузли інтерполяції (n=3), то поліном Ньютона має вигляд:

P_n(x) = y₀ + (x − x₀)f(x₀; x₁) + (x − x₀)(x−x₁)f(x₀; x₁; x₂) +

+ (x − x₀)(x − x₁)(x − x₂)f(x₀; x₁; x₂; x₃)

Якщо ж маємо вже шість вузлів, тобто n=5, то йде просте нарощування формули:

P_n(x) = y₀ + (x − x₀)f(x₀; x₁) + (x − x₀)(x − x₁)f(x₀; x₁; x₂) +

+ (x − x₀)(x − x₁)(x − x₂)f(x₀; x₁; x₂; x₃) +

+ (x − x₀)(x − x₁)(x − x₂)(х − х₃)f(x₀; x₁; x₂; x₃; x₄) +

+ (x − x₀)(x − x₁)(x − x₂)(х − х₃)(х − х₄)f(x₀; x₁; x₂; x₃; x₄; x₅).

4. Інтерполяція функцій

4.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (29) звичайно записують у іншому вигляді. Для цього введемо нову змінну q:

тоді

Підставляючи ці вирази у формулу (29), одержимо:

(30)

де – число кроків, необхідних для досягнення точки х, виходячи із точки х₀. Це і є остаточний вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.

Формулу (30) зручно використовувати для інтерполяції функції в околі початкового значення х–х₀, де q мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (30) покласти n=1, то одержимо формулу лінійної інтерполяції:

.

При n=2 будемо мати формулу параболічної або квадратичної інтерполяції:

Якщо дано необмежену таблицю значень функції у, то число n в інтерполяційній формулі (30) може бути довільним. Практично в цьому випадку число n вибирають так, щоб різниця була сталою із заданим степенем точності. За початкове значення х₀ можна брати будь-яке табличне значення аргументу х.

Якщо таблиця значень функції скінченна, то число n обмежене, а саме n не може бути більше числа значень функції у, зменшеного на одиницю.

Зауважимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно користуватися горизонтальною таблицею різниць, тому що тоді потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.