Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Кафедра прикладної математики, інформатики і математичного моделювання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять, індивідуальної та самостійної роботи з варіантами завдань для розрахунково-графічної роботи

з дисципліни «Обчислювальні методи».

Для підготовки фахівців ОКР „Бакалавр” напряму

6.040302 «Інформатика»

денної та дистанційної форми навчання

Полтава 2017

Методичні вказівки до практичних занять, індивідуальної та самостійної роботи з варіантами завдань для розрахунково-графічної роботи з дисципліни «Обчислювальні методи». Для підготовки фахівців ОКР „Бакалавр” напряму 6.040302 «Інформатика» денної та дистанційної форми навчання – Полтава: ПолтНТУ, 2017. – 80 с.

Укладачі: Л. І. Лєві, доктор техн. наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики, інформатики і математичного моделювання,

О.Б. Одарущенко, кандидат техн. наук, доцент кафедри прикладної математики, інформатики і математичного моделювання.

Відповідальний за випуск: Л. І. Лєві, завідувач кафедри прикладної математики, інформатики та математичного моделювання, доктор техн. наук, професор.

Рецензенти: Ю. Л. Поночовний, кандидат технічних наук, старший

науковий співробітник, доцент,

О. А. Руденко, кандидат технічних наук, доцент.

Затверджено науково-методичною

радою університету

Протокол № від

Авторська редакція:

24.08.05.02

ЗМІСТ

ВСТУП	4
1. НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ	5
1.1 Загальні правила обрахункової роботи	5
1.2 Поняття абсолютної та відносної похибки	5
1.3 Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язки рівняння	7
1.4 Метод половинного ділення	8
1.5 Метод хорд	8
1.6 Метод дотичних (метод Ньютона)	10
1.7 Комбінований метод хорд і дотичних	11
2. РОЗВ’ЯЗОК СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ	12
2.1 Постановка задачі	12
2.2 Формули Крамера	13
2.3 Метод Гаусса	14
3. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ ТА ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ФОРМУЛИ НЬЮТОНА	15
3.1 Основні поняття	15
3.2 Метод найменших квадратів	19
3.3 Інтерполяційний поліном Ньютона	22
4. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ	24
4.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона	24
4.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона	25
5. НАБЛИЖЕНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ	27
5.1 Метод Ейлера	27
5.2 Метод Рунге-Кутта другого порядку	30
6. НАБЛИЖЕНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ	32
6.1 Метод прямокутників	32
6.2 Метод трапецій	33
6.3 Метод парабол (Сімпсона)	34
7. ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ ДЛЯ РГР	35
7.1 Індивідуальне завдання 1	35
7.2 Індивідуальне завдання 2	43
7.3 Індивідуальне завдання 3	49
7.4 Індивідуальне завдання 4	55
7.5 Індивідуальне завдання 5	63
7.6 Індивідуальне завдання 6	66
7.7 Індивідуальне завдання 7	68
8. ОСНОВНІ ВИМОГИ ДО ВИКОНАННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ РГР	75
ВИСНОВКИ	77
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА	78
ДОДАТОК А	79

ВСТУП

Дані методичні вказівки призначені для практичних занять, індивідуальної та самостійної роботи студентів напряму 6.040302 «Інформатика» денної та дистанційної форми навчання з дисципліни «Обчислювальні методи».

Мета: формування у студентів основ теоретичних та практичних знань і навичок при розв’язуванні прикладних математичних задач, засвоєння основних понять про чисельні методи розв’язування рівнянь навчальної дисципліни, систем рівнянь та методи наближення.

Завдання: засвоєння основних понять про чисельні методи розв’язування рівнянь, систем рівнянь та методи наближення.

Методичні вказівки складаються з теоретичної та практичної частин. У теоретичній частині викладено базову інформацію, необхідну для виконання наведених індивідуальних завдань.

У практичній частині, відповідно до кожного з індивідуальних завдань, міститься сформульована задача, наведене розв’язання типового прикладу, а також значення вхідних даних для різних варіантів виконання завдання.

Наприкінці посібника міститься перелік базової літератури, необхідної для оволодіння повним обсягом знань та умінь із даної дисципліни.

1. Наближений розв’язок алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

1.1. Загальні правила обрахункової роботи

За умови виконання великої кількості обчислень необхідно притримуватися певного набору правил та обмежень, котрі значно підвищать ефективність та дозволять раціонально використовувати наявні ресурси.

Базовими виступають правила, що стосуються наступних етапів об- рахункової роботи.

1. Розробка детальної обрахункової схеми, що точно визначає послідовність дій та дозволяє за мінімальну кількість перетворень досягти максимального результату;

2. Контроль обчислень. Без перевірки обчислення не може вважатися завершеним. Контроль поділяється на поточний та заключний. Під час поточного контролю проводяться додаткові обрахунки, що дозволять з певною достовірність підтвердити коректність проміжних результатів. У випадку заключного контролю перевірка проводиться лише над остаточним результатом;

3. Оцінка точності. У більшості випадків обрахунки проводяться приблизно з приблизними числами. Через дану особливість навіть для точних методів виникає похибка дій та похибка заокруглення. У випадку використання приблизного методу до даних похибок додається похибка методу

1.2 Поняття абсолютної та відносної похибки

Абсолютна похибка - це різниця між відповідним точним значенням розглянутої величини А і наближеним її значенням а. Похибка  виражається так:

.

(1)

Часто знак похибки невідомий або не має значення. Тоді вводиться абсолютна похибка наближеного числа

.

(2)

Безпосередньо за значенням абсолютної похибки досить важко робити висновок про ступінь розбіжності між точним значенням   величини і його наближеним значенням. Так, похибка 2м цілком припустима при визначенні відстані між Києвом і Сумами і абсолютно неприпустима при вимірюванні розмірів кімнати. Тому застосовується ще одна характеристика наближених величин - їх відносна похибка.

Відносною похибкою   наближеного значення величини, точне значення якої дорівнює А, називається відношення його абсолютної похибки   до модуля точного або наближеного значення, тобто

;  .

(3)

Наприклад, нехай в результаті вимірювання довжини бігової доріжки отримано значення а=99,1м. Точне значення цієї величини  = 100м. Абсолютна похибка за формулою (2) дорівнює

.

Відносна похибка за формулою (3) складає

.

Із формул (2)-(3) випливає, що абсолютна похибка має розмірність оцінюваних цією похибкою величин, відносна похибка завжди безрозмірна.

Величини ∆ і   можуть бути обчислені точно лише в тих випадках, коли відомо не тільки наближене числове значення розглянутої величини, але і її точне значення. Останнє, однак, можливо далеко не у всіх випадках. Крім того, часто спостерігаються випадки, коли доводиться аналізувати похибки деякої множини наближених величин, наприклад, похибки вимірювання розмірів серії виготовлених деталей, викликані недосконалістю застосовуваних вимірювальних інструментів. Якість серії вимірювань для всіх деталей може оцінюватися найбільшою за модулем величиною абсолютної або відносної похибки їх розмірів. Тому часто вводяться поняття граничних абсолютної та відносної похибок.

За граничну абсолютну похибку  * наближеного числа може бути прийняте будь-яке число, не менше абсолютної похибки цього числа:

.

(4)

Аналогічно за граничну відносну похибку  * наближеного числа може бути прийняте всяке число, що задовольняє умові

.

(5)

При аналізі серії вимірювань за  * і  * приймаємо найбільші з отриманих відповідних значень і і тим самим визначаємо межі, всередині яких знаходяться відповідні похибки.