IV. Приложение определённого интеграла

Один из ярких примеров применения определённого интеграла, следующий из определения, которое было дано выше, - это вычисление площадей фигур. Это приложение относится к геометрическому смыслу определённого интеграла. Вспомним теорию.

Пусть f(х) и g(х) - две непрерывные функции, заданные на отрезке [а;b], причём при всех . Между графиками у = f(х) и у =g (х) лежит область D, с боков ограниченная отрезками прямых х = а и х = b.

Если обе функции неотрицательны, то есть , то для вычисления площади области D достаточно заметить, что она равна разности площадей областей D_g и D_f, лежащих между отрезком [а;b] (снизу) и, соответственно, графиком у = g(х) и у = f(х) (сверху). Для нахождения площадей областей D_g и D_f применим формулу Ньютона-Лейбница и получим:

.

.

Рис.5.24 - Вычисление площадей при помощи определённого интеграла

Приведём пример нахождения площади под кривой в системе Mathcad. Для степенной функции.

Вычисление площади под кривой при помощи определённого интеграла.

Однако для того, чтобы процедура вычисления определённого интеграла была более наглядна, т.е. чтобы можно было визуально увидеть ту площадь, которая вычисляется, Mathcad предоставляет такую возможность визуализации. Смотрите пример ниже.

Заштрихованная площадь соответствует той площади, которую вычисляет определённый интеграл. Другими словами, заштрихованная площадь на приведённом выше рисунке равна А = 4,174. Этот пример наглядно показывает, какую площадь и между какими интервалами вычисляет определённый интеграл. В данном случае пределами, как интегрирования, так и пределами для построения площади являются числа а и b . При изменении их значения будет меняться пределы интегрирования, а также будет меняться заштрихованная область на рисунке 5.25.

Рис.5.25 - Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла

Теперь давайте вспомнить из курса математики, что если график функции находится выше оси Ох, т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает положительные значения, то интеграл получается положительным. Если же график функции располагается ниже оси Ох , т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает отрицательные значения, то интеграл по­лучится отрицательным. Если на всем промежутке интегрирования функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то числовое значение определённого интеграла будет складываться из «положительной» части интеграла и его «отрицательной» части. Наглядно это может демонстрировать следующий пример. Сравните его с предыдущим.

Рис.5.26 - Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла

В данном случае при изменении пределов интегрирования меняется и значение этого интеграла. Несмотря на то, что заштрихованная площадь стала больше, само значение интеграла стало меньше, чем в предыдущем примере.

Может получиться и так, что значение определённого интеграла будет нулевым. Такое обычно происходит, когда функция периодическая и пределы интегрирования для неё заданы симметрично.

Рис.5.27 - Пример интегрирования тригонометрической функции

Теперь рассмотрим некоторые простые физические приложения интеграла.

Если тело в период времени с t₁ по t₂ , имеет скорость v(t) (скорость меняется со временем), тогда перемещение (расстояние между начальной и конченой точкой маршрута) будет вычисляться по формуле:

Таким образом, скорость является производной перемещения, а перемещение - интегралом от скорости.

Путь тела (длина траектории или то расстояние, которое фактически проехало) вычисляется по следующей формуле:

.

Если скорость тела не меняет знака (тело движется в одном направлении), то его путь и перемещение совпадают.

Разберём следующий пример:

С корость тела меняется по закону v(t) = 48 - 2t -t² (м/с). Определить перемещение и путь тела за первые 6 и 9 секунд. Решение этой задачи может выглядеть следующим образом.

Рис.5.28 - Решение задачи на нахождение перемещения и пройденного пути по заданной формуле скорости движения тела.

Для наглядности построим график скорости, а также найдём её значение в заданные моменты времени.

Рис.5.29 - График изменения скорости движения тела и значение скорости в заданные моменты времени.

Таким образом, в момент времени t₂ = 6 тело начинает двигаться в обратном направлении. При этом перемещение начинается уменьшаться - как это видно из графика зависимости изменения скорости от времени. Однако само перемещение - т.е. пройденный путь постоянно увеличивается. Данные результаты вычисления достигаются вводом в подынтегральную функцию знака модуля. Таким образом, если необходимо вычислить суммарную площадь, которая образуется между графиком функции и осью Ох вне зависимости от того, какие значение принимает функция - положи­тельные или отрицательные, необходимо вводить оператор Модуль под знак интеграла.

Существует ещё одно достаточно распространённое применение определённого интеграла. Речь идёт о вычислении потребляемой электроэнергии.

Если потребляемая мощность предприятия изменяется по закону Р(t), то количество потребленной электроэнергии за время с t₁ по t₂ вычисляется по формуле:

.

Рассмотрим пример.

Мощность предприятия в течение дня меняется по закону P(t) = t² -15t + 320 (кВт). Сколько электроэнергии потребляет предприятие в период с 8 до 18 часов?

Согласно формуле, получаем:

.

Решим эту же задачу в системе Mathcad, изобразим при этом график заданной функции и временные пределы.

Рис.5.30 - Решение задачи на потребляемую мощность предприятием в заданный промежуток времени

При изучении раздела Неопределённый интеграл, было установлено, что Mathcad «отказывался» строить график функции, которая была получена путём интегрирования. Также невозможно было записать значение первообразной функции, после того, как был найден интеграл.

На рисунке ниже приведём пример, а после обсудим его.

Рис.5.31 - Вычисление определённого интеграла по переменной.

В данном примере были даны две функции: первая функция F´(x) была задана в качестве символьной функции, а вторая функция F(х) была задана как числовая функция, но один из пределов которой является переменная, от которой задаётся функция, т.е. х. Как было показано ранее, график функции, заданный выше, не может быть построен и его нельзя применять в качестве функции для вычисления. Поэтому для того, чтобы использовать функцию в дальнейших вычислениях, необходимо брать от первообразной определённый интеграл, один предел которого 0, а второй предел - переменная, по которой берётся интеграл. Однако следует учитывать, что этот метод работает не всегда. Это иллюстрирует следующий пример.

Рис.5.32 - Пример нахождения определённого интеграла, как функцию от переменной.

В данном случае график сместился относительно оси Ох на единицу вверх. Характер графика от этого не изменился - кривая, которая построена, является - соs(х), это также показывает проверка дифференцированием - это показано внизу примера. Однако с математической точки зрения результат является неверным.

Вот здесь хотелось бы сделать одно важное замечание для всех тех, кто использует систему Mathcad в математических, технических, экономических, экспериментальных расчётах. Никогда не надо слепо доверять всем тем расчётам и результатам, который выдаёт система Mathcad. Mathcad - это очень мощный калькулятор, позволяющий упростить большинство математических действий. Однако необходимо производить трассировку (отладочное выполнение программы, при котором на экран или на принтер выводятся аргументы и результаты выполнения каждой команды) всех этих действий, визуализировать все данные, в противном случае вы можете столкнуться с неверным результатом.

Ещё один пример, наглядно демонстрирующий возможную ошибку при вычислении определённого интеграла.

Рис.5.33 - Пример нахождения определённого интеграла, как функцию от переменной.

Как и в предыдущем примере, проверка показала, что определённый интеграл был вычислен верно, однако как график, так и сам вывод результата при помощи символьного оператора показывает, что результат отличается на «1», т.е. график первообразной смещён по оси Оу вверх на одну единицу. Как в этом, так как и в предыдущем примере, этого можно избежать, если из получившейся функции вычесть «1», найдя её в первообразной при помощи проверки.