II. Вычисление неопределённых интегралов
В курсе математики
были изучены такие способы нахождения
неопределённого интеграла, как
непосредственное подведение функции
под знак дифференциала, непосредственная
замена переменной, метод интегрирования
по частям. Также были показаны
способы
интегрирования рациональных дробей
типа
и итегрирование тригонометрических
выражений.
Задача этого раздела - показать, как можно при помощи системы Mathcad вычислять интегралы сложных функций, а также применять различные способы интегрирования в системе Mathcad.
Первый способ, который следует разобрать – это непосредственное подведение функции под знак дифференциала.
Если интеграл
имеет вид
,
то замена переменной осуществляется
подведением множителя
под знак дифференциала:
,
и задача сводится к вычислению
интеграла
.
Пример:
(задача
сводится к вычислению
,
где
)
.
Пример:
(задача
сведена к вычислению
,
где
t)
.
В системе Mathcad нет необходимости применять данное правило и делать подведение функции под знак дифференциала.
Пример вычисления неопределённого интеграла.
Ответ, который был получен в примере в системе Mathcad, вполне соответствует ответу, который был получен при вычислении данного интеграла «вручную».
Здесь следует также отметить, что при записи «вручную» мы можем записать выражение cos(x) под знаком дифференциала, т.е. так d(cos(x)). Однако, таким же образом записать данное выражение в системе Mathcad невозможно, так как под знаком дифференциала должна стоять переменная, по которой будет происходить интегрирование выражения.
Приведём следующий пример.
Пример вычисления неопределённого интеграла.
Как и в предыдущем примере, нет необходимости вносить под знак дифференцирования тригонометрическую функцию sin(x).
Как для первого, так и для второго примера следует сделать следующее замечание: когда в каких-либо расчётах происходит операция интегрирования или операция дифференцирования, всегда необходимо делать проверку правильности полученных результатов. Для этого может быть создана дополнительная функция. Для непосредственной проверки правильности выполненной операции системой Mathcad рекомендуется строить графики, так как результат либо интегрирования, либо дифференцирования может быть записан системой в произвольной форме, поэтому проще делать проверку при помощи графиков. Если графики исходной и результирующей функции совпадают на интересующем промежутке, то операцию можно считать выполненной правильно.
К выше разобранным примерам можно сделать ещё пояснения относительно ключевого слова simplify. Данная операция упрощает полученный результат и выводит его на экран. Какого-либо математического смысла она не несёт, её основная задача - представить полученный результат в более читабельном для пользователя виде.
Следующий метод, который необходимо разобрать – это метод непосредственной замены переменной.
Замену переменной
можно осуществлять формальным сведением
подынтегрального выражения к новой
переменной. Если переменную х
представить в виде функции от новой
переменной t , при этом
.
Получим
.
Разберём такой пример.
Сделаем
в интеграле
замену
переменной t
= sin x. Выражаем все множители
подынтегрального выражения через
переменную t:
,
,
.
Получаем
.
Так же, как и в предыдущем случае, нет необходимости делать замену переменной, просто достаточно записать оператор интегрирования и сделать проверку полученного результата.
Наиболее интересный способ с точки зрения применения возможности системы Mathcad - способ интегрирования рациональных дробей.
Рассмотрим такой пример:
.
Для разложения этой дроби на простейшие выполняем следующие действия:
,
,
,
.
1) Раскладываем знаменатель на множители, решая квадратное уравнение
.
2) Дробь представляется в виде суммы двух простых дробей
.
3) Чтобы найти коэффициенты А и В, приведем две дроби справа к общему знаменателю:
.
4) Приравниваем полученный числитель к числителю исходной дроби:
Приравнивая отдельно коэффициенты при х и свободные члены, получаем систему уравнений:
.
Откуда A=1, B=1.
5) Таким образом, исходный интеграл разбивается на два простых:
.
В Mathcad он может быть решён в одно действие.
Рис.5.13 - Пример вычисления неопределённого интеграла
Однако необходимо любые вычисления сопровождать проверкой. Поэтому этот пример может быть выполнен следующим образом:
Рис.5.14 - Пример вычисления неопределённого интеграла.
Может получиться так, что Mathcad не сможет взять интеграл от этого выражения и выдаст ошибку – т.е. не будет считать. Тогда для того, чтобы избавиться от ненужных вычислений «на бумаге» можно применять систему Mathcad непосредственно как обычный калькулятор. К примеру, уравнение
можно решить при помощи пары операторов Given – Find. В Mathcad это может выглядеть следующим образом.
Рис.5.15 – Пример решения урванения
В следующем примере рассмотрим интегрирование тригонометрических выражений.
Проинтегрируем выражение
.
Рис.5.16 - Пример интегрирования тригонометрического выражения
Обратите внимание на этот пример: после проверки исходной подынтегральной функции не получилось, даже после упрощения полученного выражения – функции g(x). Поэтому для того, что-бы проверить правильность полученного значения неопределённого, необходимо построить графики исходной функции f (x) и проверочной функции g(x) .
Рис.5.17- Проверка правильности вычисления неопределённого интеграла.
Поскольку графики данных функций совпадают, то можно считать, что интеграл был взят системой Mathcad верно, несмотря на то, что при проверке результатов было получено совсем другое выражение.
После того, как были разобраны неопределённые интегралы, перейдём к изучению определённых интегралов.