7. Скалярное произведение и его свойства.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

3. Для любых векторов выполняется равенство .

4. Для любого вектора выполняется соотношение .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

8. Применение скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.

1) или .

2) .

3) .

4) .

9. Понятие об уравнении линии на плоскости и в пространстве. Уравнение окружности.

Уравнением линии на плоскости в декартовой системе координат называют уравнение: F(х;у)=0, которому удовлетворяют координаты (х;у) любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, которые не принадлежат ей.

Линия в пространстве задаётся в общем случае как линия пересечения некоторых поверхностей S₁ и S₂ .

Система уравнений:

называется уравнением линии в пространстве.

Окружностью называется линия, каждая точка М(х;у) на которой находится на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемойцентром окружности. Величина называется радиусом окружности.