1. Вектор. Основные понятия.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если   – начало вектора,   – его конец, то такой вектор обозначается как  , или  . Вектор   с началом в точке и концом в точке называетсяпротивоположным вектору и обозначается как  , или  .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка   и обозначается  .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается как  . Считается, что он не имеет направления.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором и обозначается как  .

Векторы и   называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это обозначается как  . 

2. Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

К линейным относятся операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой векторов   и   называется вектор, полученный по правилу сложения векторов:

А) если совместить начала векторов, то суммой будет вектор, начало которого совпадает с началами векторов, а конечная точка- противоположная вершина параллелограмма, сторонами которого будут   и   ;

В) если совместить начало второго вектора и конечную точку первого, то сумма – вектор, начало которого совпадает с начальной точкой первого вектора, а конечная – с конечной точкой второго.

Суммой конечного числа векторов служит замыкающий вектор:

Вектор   называется противоположным вектору   , если их длины совпадают, а направления противоположны.

Разностью векторов   и   называется вектор   , который является суммой векторов   и -   . Вектор   направлен к концу вектора   , если   и   приведены к одному началу.

Произведением вектора   на число   называется вектор   , для которого:

1) длина в   раз больше : 

2) направления совпадают, если   и противоположны, если 

Для любого ненулевого вектора   можно определить орт вектора:

Введенные операции называются линейными и обладают рядом свойств:

1) Сложение векторов коммутативно: 

2) Сложение векторов ассоциативно: 

3) 

4) 

5) Умножение вектора на число ассоциативно: 

3. Проекция вектора на ось.

Числовой осью называют прямую, на которой определено:

1. направление ( → );

2. начало отсчета (точка О);

3. отрезок, который принимают за единицу масштаба

4. .

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка  этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора на ось . Она берется со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: .

Углом между вектором и осью называется угол  , на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось , чтобы она совпадала с направлением вектора .

Свойства проекций:

• равные векторы имеют равные проекции;

• при умножении вектора на число  его проекция на ось также умножается на то же число;

- проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов.