Исследование операций (обучающая система) / chapter4 / SmeshStr

Математическая модель Смешанные стратегии 

           Смешанные стратегии представляют собой математическую модель изменчивой, гибкой тактики, при которой противник не знает, и не может узнать заранее, с какой обстановкой ему придется встретиться. Таким случайным чередованием приемов (разумеется, без четко определенных вероятностей) часто пользуются в карточных играх.

Введем специальное обозначение для смешанных стратегий. Пусть имеется игра И, в которой у нас (А) m стратегий:А1 А2,...,А m, а у противника (В) — n стратегий: В1, В2, ..., Вn. Будем обозначать

SA=(P1, P2,…, Рm)

нашу смешанную стратегию, в которой стратегии A1 A2, ..., Аm применяются с вероятностями р1, р2, ...,рm, причем p1+p2+ ...+ Рm =1-    Аналогичное обозначение для смешанной стратегии противника будет

SB = (q1,q2,...,qn),   где q1+q2+ ...+qn=1.

          Очевидно, каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной: все стратегии, кроме данной, имеют вероятности, равные нулю, а данная — единице.

          Оказывается, если допустить не только чистые, но и смешанные стратегии, то можно для каждой конечной игры найти решение, т. е. пару устойчивых оптимальных стратегий игроков.

           Решением игры называется пара оптимальных стратегий SА, SB, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей.

         Выигрыш, соответствующий решению, называется ценой игры; мы будем (как раньше — чистую цену) обозначать ее v. Существует так называемая основная теорема теории игр, состоящая в следующем: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

            Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Цена игры v всегда лежит между нижней ценой игры A и верхней ценой игры.

A<v<B.

            Действительно, А есть максимальный гарантированный выигрыш, который мы можем себе обеспечить, применяя только свои чистые стратегии. Так как смешанные стратегии содержат в качестве частного случая все чистые, то, допуская кроме чистых еще и смешанные стратегии, мы, во всяком случае, не ухудшим своих возможностей; значит, A<v. Аналогично, рассматривая возможности противника  v<B, откуда A<v<B.

        Предположим, что в игре n x m нами найдено решение, состоящее из двух оптимальных стратегий:

SA* = (p1, р2, ...,рm);           SВ* = (q1,q2,...,qn).

          В общем случае, некоторые из чисел р1, р2, ,pm,q1,q2, ...,qn могут быть равными нулю, т. е. не все стратегии, доступные игроку, входят в его оптимальную смешанную стратегию. Будем называть активными стратегиями игрока те, которые входят в его оптимальную смешанную стратегию с отличными от нуля вероятностями. Для решения игр существенное значение имеет следующая теорема об активных стратегиях.

         Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того, что делает другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий(т. е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях).