2. Преобразование случайных величин.

Дискретная случайная величина принимает значенияy₁ y₂ y₃… y_l с вероятностямиP₁, P₂…, P_l составляющими дифференциальное распределение вероятностей:

y y₁ y₂…… y_j…

P(=y) P₁, P₂……P_j… (3)

При этом интегральная функция распределения y_my_m+1; m=1,2,...

F_(y)=0, y<y₁. (4)

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если- равномерно распределённая на интервале (0, 1), случайная величинаполучается с помощью преобразования

=F_^-1(), гдеF_^-1 - функция, обратнаяF_. (5)

Алгоритм вычисления по (4) и (5) сводится к выполнению следующих действий:

если х₁<Р₁то=y₁ иначе,

если х₂<Р₁+Р₂то=y₂ иначе,

(6)

если х_j<то=y_m иначе

При счёте по (6) среднее число циклов сравнения равняется

Пример 1.Необходимо методом обратной функции на основании базовой последовательности случайных чисел{x_i}, равномерно распределённых в интервале (0,1), получить последовательность чисел{y_i}, имеющих биноминальное распределение, задающее вероятность у удачных исходов вNреализациях некоторого эксперимента:

P(_i=y)=P_N(y)=C_N^yP^y(1-P)^N-y , гдеP=0.5 иN=6; C_N^y=N!/y!(N-y)!

Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределения соответственно будут М[y]=np(1-P). Используя для Р_jобозначения, принятые в (6), вычислим:

j …	1	2	3	4	5	6	7
yj …	0	1	2	3	4	5	6
Pj …	0.01562	0.09375	0.23438	0.3125	0.23438	0.09375	0.01562
…	0.01562	0.10937	0.34375	0.65625	0.89063	0.98438	1.0000

Например, получив из равномерного распределения число Х­_i=0.89063 и проведя сравнения по алгоритму (6), найдём, что 0.85393<0.89063, т.е.y_i=4. При этом среднее число циклов сравнения=1*0.01562+2*0.09375+3*0.23438+4*0.31250+5*0.23438+6*(0.09375+0.01562)3.98.

3. Вычисление непрерывных случайных величин.

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения:

, где- плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин можно использовать метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция =F_^-1(), полученная решением относительноуправленияF_(y)= преобразует равномерно распределённую на интервале (0,1) величинувс требуемой плотностьюf­_(y).

Действительно, если случайная величина имеет плотность распределенияf­_(y), то распределение случайной величиныявляется равномерным.

Т.о. чтобы получить число, принадлежащее последовательность случайных чисел {y}, имеющих функцию плотностиf­_(y), необходимо разделить относительноy_i управление

(7)

Пример 2.Необходимо получить случайные числаy_i с показательным законом распределения.

f_(y)=e^-y,y>0.

В силу соотношения (7) получим , гдеx_i - случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0,1), тогда

Рассмотрим универсальный метод моделирования непрерывных случайных величин (метод исключений).

При моделировании случайной величины y с плотностью распределения вероятностейf_(y) в интервалеayb независимые значенияx_m иx_m+1преобразуются в значения

y_1m=a+(b-a)*x_m (8)

z_1m+1=f_1(y)* x_m+1 (9)

гдеf_1(y)=max| f_(y)|.При этомy_1m иz_1m+1- значения случайных величин, равномерно распределенных на интервале (a,b) и (0,f_1m).Эти значения можно рассматривать как абсциссы и ординаты случайных точек, равномерно распределяющихся внутри прямоугольника со сторонамиb-a иf_1m, охватывающего кривую распределенияf_(y)(см. рисунок7.2.).

Рис. 7.2. Иллюстрация метода исключений

Если z_1m+1f_(y_m1), (10)

тогда пара y_1m, z_1m+1 определяет случайную точку под кривойf_. Вероятность попадания случайной точки, удовлетворяющей условию (10) под кривуюf_равна единице, а вероятность попадания в заштрихованную элементарную площадку равнаf_(y_1m)*y_1m­. Это обозначает, что абсциссыy_1mслучайных точек, попадающих под кривуюf_ - значения случайной величиныyс заданной плотностью вероятностиf_(y). Моделируемый алгоритм состоит из функций : 1) полученияx_m1 иx_m+1 от датчика; 2) расчётаy_1v иz_1m+1согласно (8) и (9); 3) вычисленияf_(y_1m); 4) сравненияz_1m+1сf_(y_1m). Если условия (10) выполняются, тоy=y_1m; если нет, то значенияy_1m иz_1m+1 исключаются и процесс повторяется, начиная с пункта 1. При моделировании системы 2-х случайных величин (y₁y₂) с плотностью вероятностиf(y₁,y2),a₁y₁b₁; a₂y2b₂, аналогично моделированию одной случайной величины, три значения:x_m, x_m+1, x_m+2, выданные датчиком Е, преобразуются в значения:

y_1m=a₁+(b₁-a₁)x_m (11)

y_2m=a₂+(b₂-a₂)x_m+1 (12)

z_3m=f_mx_m+2, гдеf_m=max[f(x₁,x₂)] (13)

Если z_3mf(y_1m,y_2m) (14)

то y₁=y_1m; y₂=y_2m.

В этом случае случайные точки с координатами y_1m, y_2m, z_3m - равномерно распределены в пределах параллепипеда со сторонами, равными (b₁-a₁)(b₂-a₂), f_m и условие (14) означает попадание точки под поверхностьf_. Аналогично моделируется системаn случайных величин (y₁,y₂,…,y_n).