2.8. Системы уравнений для описания моделей черного ящика

Помимо вышерассмотренных приемов математического представления моде-лей (функциональные и регрессионные зависимости) большое распространение имеют системы линейных и разностных уравнений.

Общей системой из m уравнений с n неизвестными называется система алгебраических уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₁₂ + … + a_1nx_n = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₁₂ + … + a_2nx_n = b₂, (2.53)

_{………………………………………………}

a_m1x₁ + a_m2x₁₂ + … + a_mnx_n = b_m,

где a_ij, b_j- постоянные коэффициенты.

Систему называют однородной, если b₁ = b₂ = … = b_m = 0. В противном случае систему называют неоднородной.

Система называется совместной, если существует хотя бы одно решение

x₁ = α₁ … x_n = α_n,

обращающее все уравнения системы в тождества, и несовместной, если ни одного такого решения не существует.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений - бесконечное множество. Система уравнений может быть представлена в виде матрицы

A * X' = B, (2.54)

где

A = [ a₁₁, a₁₂ , … , a_1n,

a₂₁, a₂₂ , … , a_2n, (2.55)

_…………

a_m1, a_m2 , … , a_mn];

X = [ x₁₁, x₁₂ , … , x_1n,

x₂₁, x₂₂ , … , x_2n, (2.56)

_…………

x_m1, x_m2 , … , x_mn];

B = [ a_1n, a_2n, … , a_m]. (2.57)

Для нахождения коэффициентов системы линейных уравнений (2.54) – необхо-димо решить матричное уравнение

A = B\X'. (2.58)

С помощью системы линейных уравнений можно описать некоторые произ-водственные и экономические ситуации, например системы, описываемые в рамках методов линейного программирования- транспортные задачи, составление рацио-нов питания, планирования работ, составления оптимального набора технических средств и т.п., которые будут рассмотрены ниже.

Разностные уравнения. Разностным уравнением называется уравнение, кото-рое связывает между собой значения x_n при различных значениях индекса n. Если N₁ и N₂ представляют собой наибольший и наименьший из индексов n, встречаю-щихся в записи уравнения, то порядок разностного уравнения есть

P = N₁ -N₂ ,

например, (2x_n+3)² + x_n = 5 – уравнение третьего порядка.

Предположим, что имеется популяция живых организмов, растущая таким образом, что с увеличением ее численности скорость ее роста также увеличивается. Чтобы выразить это допущение в математической форме, обозначим через x_n раз-мер популяции в конце n-го периода времени. Тогда величина x_n+1 - x_n выражает прирост за следующий период времени, т.е. скорость, темп, в единицу времени в (n+1)-ом интервале времени. Эта величина пропорциональна x_n. Если величину пропорциональности обозначить через a, то получим

x_n+1 - x_n = a * x_n

или

x_n+1 = (1+a) * x_n . (2.59)

Чтобы решить это уравнение, мы должны знать начальный размер популяции x₀. Тогда можно последовательно вычислить численность в разные моменты времени

x₁ = (1 + a) * x₀ ,

x₂ = (1 + a) * x₁ =(1 + a)² * x₀, (2.60)

x₃ = (1 + a) *x₂ =(1 + a)³ * x₀ .

Если постоянная a > 0, то с ростом n численность популяции неограниченно растет, если a < 0, то падает. При a = 0 численность остается на постоянном уровне. При значении a <-1 численность становится отрицательной.

Общий вид линейного разностного уравнения второго порядка

a(n) * x_n+2 + b(n) * x_n+1 + c(n)* x_n = d(n), (2.61)

где a(n), b(n), c(n), d(n) - заданные по эксперименту или наблюдению функции.

Если d(n) = 0, то уравнение называют однородным. Если a(n), b(n), c(n), d(n) постоянны для всех n, то уравнение (2.61) называют разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

Если на процесс влияют какие-либо внешние факторы, например, конкурен-ция, противодействия, недостаток ресурсов и.д., то описать данную систему можно с помощью системы разностных уравнений первого порядка, имеющую вид

x_n+1 = a₁₁* x_n + a₁₂* y_n + f(n), (2.62)

y_n+1 = a₂₁* x_n + a₂₂* y_n + g(n),

где a₁₁, a₁₂ , a₂₁, a₂₂ – постоянные коэффициенты; f(n), g(n) – заданные функции; x_n , y_n - искомые функции.

Систему (2.62) можно представить как модель взаимодействия двух агентов (видов, фирм, противников), конкурирующих за одни и те же ресурсы. Когда оба агента конкурируют за одни и те же ресурсы, это моделируется с помощью отрица-тельных коэффициентов a₁₁a₂₁. Если, например, коэффициент a₁₁ отрицателен, то агент вида 1 будет убывать с ростом агента вида 2.

Для описания более сложных моделей, более сложных взаимодействий аген-тов друг с другом и внешней средой, применяют дифференциальные уравнения. Предположения, приводящие к этим уравнениям, состоят в том, что скорость роста агента на единицу численности агента x(t) равна постоянной величине a

[1/x(t)] * dx(t)/dt = a. (2.63)

Или в виде дифференциального уравнения первого порядка

dx(t)/d(t)= a* x(t). (2.64)

Скорость роста может быть непостоянной величиной. Тогда мы приходим к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка

dx(t)/d(t)= g(x, t). (2.65)

где g(x, t)- заданная функция.

Интерпретация этого уравнения может быть следующей - скорость роста аген-та является некоторой функцией времени и его численности.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка описывают колеба-тельные процессы, происходящие в системах

a(t) * x''(t) + b(t) * x'(t) + c(t)* x(t) = f(t), (2.66)

где a(t), b(t), c(t), f(t) - заданные функции, причем a(t) не обращается в нуль ни при каких значениях t.

Колебательные процессы характерны для многих процессов в биологии, эконо-мики, техники, обусловленные суточными, месячными или годовыми циклами.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

dy'₁/dt = a_m1y₁(t) + a_m2y₂(t) + … + a_1ny_n(t) ,

dy'₂/dt = a_m1y₁(t) + a_m2y₂(t) + … + a_1ny_n(t) , (2.67)

_{………………………………………………}

dy'_n/dt = a_m1y₁(t) + a_m2y₂(t) + … + a_1ny_n(t) ,

где a_ij - постоянные коэффициенты.

Решить систему (2.67) значит найти функции y₁(t), y₂(t), …, y_n(t) , которые удовлетворяют всем ее уравнениям.