Формула Пуассона.

Пусть вероятность .

.

Замечание 1. При выводе формулы Пуассона, при малых значениях , величину - считаем константой.

Замечание 2. - формула Пуассона схему Бернулли с малым числом проявлений с.с. А.

Пример. Телефонная станция обслуживает тысячу абонентов. Вероятность звонка абонента в течение часа . Какова вероятность, что в течение часа позвонят не менее пяти абонентов?

Поскольку число испытаний «велико», а вероятность - «мала» можно, взяв , приближенно записать с использованием формулы Пуассона и теоремы о сумме вероятностей противоположных событий:

.

Лекция №10. Дискретные случайные величины.

Случайные величины. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Интегральная функция распределения. Действия над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины.

Случайные величины.

Оп. Случайной (СВ) называется величина, которая в результате испытания принимает заранее неизвестное значение. СВ будем обозначать заглавными латинскими буквами , а их значения соответствующими строчными буквами .

Оп. Если значениями СВ являются отдельные изолированные числа, для которых между двумя соседними нет других возможных значений СВ, то такая СВ называется дискретной (ДСВ). Если значением СВ может быть любое число из некоторого промежутка – то такая СВ – непрерывная (НСВ).

Пример. СВ числа бракованных деталей в данной партии – ДСВ. СВ времени безотказной работы прибора – НСВ.

С теоретико-множественной точки зрения можно дать следующее формальное определение СВ.

Оп. СВ называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий , которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число .

Пример. Пусть - ДСВ числа выпадений герба при одновременном подбрасывании двух монет. Для данного испытания пространство элементарных исходов будет иметь вид . Тогда . Элементарные исходы равновероятны . Событию, состоящему в том, что ДСВ , благоприятствуют два элементарных исхода, следовательно . Таким образом, мы можем не только определить возможные значения ДСВ , но и каждому значению поставить в соответствие вероятность, с которой оно принимается.

Закон распределения.

Оп. Законом распределения ДСВ называется соответствие между значениями ДСВ и вероятностями , с которыми принимаются эти значения.

Замечание 1. Для ДСВ закон распределения может быть задан в виде таблицы, графически – в виде набора точек в системе координат , аналитически – зависимостью .

Замечание 2. Вероятность появления какого-либо значения в результате однократного испытания содержит все элементарные исходы и является достоверным событием. Учитывая несовместимость и то, что они образуют полную группу, получим:

.

Замечание 3. Закон распределения содержит полную информацию о поведении СВ.

Пример (геометрическое распределение). Найти закон распределения ДСВ - числа испытаний схемы Бернулли, проведенных до первого «успеха».

ДСВ может принимать счетное число значений: . Вероятность того, что первый успех в схеме Бернулли произойдет в - ом испытании равна:

.

Искомый закон распределения можно задать аналитически в виде формулы . В табличной форме закон распределения имеет вид:

Задаваясь конкретными значениями вероятности проявления СС в однократном испытании, можно изобразить закон распределения в графической форме. Например, для , получим график.

Легко показать, что свойство закона распределения из замечания 2 выполняется, несмотря на бесконечное количество возможных значений ДСВ .

Полученный закон распределения в теории вероятностей называется геометрическим. Геометрическое распределение вероятностей обладает важным свойством «отсутствия последействия».

Т. Пусть , тогда для любых целых неотрицательных и имеет место равенство .

Если считать ДСВ временем безотказной работы некоторого устройства (измеряемым целым числом часов), то сформулированной теореме можно придать следующий смысл. Вероятность того, что работающее устройство будет действовать еще часов, не зависит от момента начала отсчета времени. По расширенной теореме умножения вероятностей:

.

Но из проявления СС следует, при неотрицательных значениях проявление СС , значит, пересечением СС является СС . Тогда

.

Свойство отсутствия последействия геометрического распределения широко используется в теории надежности и теории систем массового обслуживания.

Оп. ДСВ имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения с вероятностями .

Пример (гипергеометрическое распределение). Ранее была рассмотрена задача о случайном извлечении стандартных и нестандартных деталей (без возвращения) из общего количества деталей, среди которых - стандартных. Если теперь рассмотреть ДСВ - число стандартных деталей среди отобранных, то выражение дает вероятность СС, состоящего в том, что ДСВ примет значение равное . Полученная формула дает закон гипергеометрического распределения. ДСВ может принимать значения: .

Оп. ДСВ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , для которых , если принимает целые значения с вероятностями .

Пример (биномиальное распределение). Завод выпускает детали, которых – первого сорта. Составить закон распределения ДСВ - числа первосортных деталей среди закупленных деталей.

Вероятность СС , состоящего в том, что наугад выбранная деталь первого сорта . Выбор каждой детали будем считать отдельным испытанием СС . Если число деталей на заводском складе , то выбор каждой отдельной детали не будет существенно менять величину вероятности . Тогда, происходит схема из испытаний Бернулли и . ДСВ принимает значения .

Оп. ДСВ имеет биномиальное распределение с параметрами , если принимает значения с вероятностями .

Замечание. Частным случаем биномиального распределения является распределение Бернулли: с вероятностями и соответственно. Такая ДСВ имеет смысл числа успехов в одном испытании схемы Бернулли.

Оп. ДСВ имеет распределение Пуассона с параметром , если с вероятностями .

Оп. Суммой (разностью, произведением) ДСВ с вероятностями и ДСВ с вероятностями , называется ДСВ , принимающая значения с вероятностями .

Оп. Произведением ДСВ с вероятностями на константу называется ДСВ с вероятностями .

Оп. Две ДСВ и называются независимыми, если .