Элементы комбинаторики.

Подсчет числа всевозможных и благоприятствующих исходов данного испытания простым перебором различных исходов испытания, при большом их количестве, становится непродуктивным. Для нахождения , и последующего использования классического определения можно использовать формулы комбинаторики.

Оп. Комбинаторика – раздел высшей математики, в котором решаются задачи выбора элементов, обладающих заданными свойствами, из некоторого множества и расположения их в определенном порядке.

Оп. Кортежем длины , составленным из элементов множеств , называется конечная последовательность .

Замечание. Кортежи, отличающиеся порядком следования элементов – различны. Координаты кортежа могут повторяться.

Пример. Из множеств и можно составить шесть кортежей длины равной двум.

.

Оп. Декартовым произведением множеств называют множество, состоящее из всех кортежей вида , и обозначают .

Пример. Декартово произведение множеств и равно

Замечание. Если хотя бы одно из множеств пусто, то их декартово произведение пусто.

Правила комбинаторики.

Т. (правило суммы). Если конечные множества попарно не пересекаются , то число элементов в объединении множеств равно сумме чисел элементов соответствующих множеств.

В качестве примера использования правила суммы см. третье свойство относительной частоты и вероятности.

Т. (правило произведения). Если множества конечны, то число элементов их декартова произведения равно произведению чисел элементов этих множеств.

Пример. В задаче на построение “дерева вероятностей” число может быть найдено, как декартово произведение множества - исходов подбрасывания первого кубика на множество - исходов подбрасывания второго кубика. Исход испытания – это кортеж из элементов этих множеств. Все кортежи этих множеств образуют их декартово произведение. Число таких кортежей находится по правилу произведения равно: .

Пример. Сколько номеров, состоящих из двух букв и идущих за ними трех цифр можно составить, используя 32 букв русского алфавита и 10 цифр?

Множество букв обозначим через , а множество цифр обозначим через . Каждый номер требуемого вида является кортежем, составленным из элементов множеств . Все кортежи из элементов данных множеств образуют их декартово произведение. Число таких кортежей равно:

.

Формулы комбинаторики.

Размещения.

Оп. Упорядоченным называют подмножество в котором важен порядок следования элементов. В противном случае подмножество называют неупорядоченным.

Пусть задано множество , содержащее элементов. Сколько упорядоченных подмножеств, по элементов в каждом, можно составить из элементов множества , если допустимо (не допустимо) повторение элементов в подмножествах?

Оп. Упорядоченные подмножества, по элементов в каждом, составленные из множества, содержащего элементов, называют размещениями. Размещения бывают с повторениями (если допустимо неоднократно выбирать один и тот же элемент в подмножество) или размещениями без повторений (если элемент выбирается один раз). Число размещений с повторениями обозначают ; без повторения - .

Если возможно повторение элементов, то искомое подмножество является кортежем, составленным из элементов множеств . По теореме 2 число таких кортежей .

Если повторение элементов исключено, то каждый элемент из множества выбирается один раз. Тогда искомое подмножество представляет собой кортеж на множествах . По теореме 2 число таких кортежей .

Пример. В ящике пять жетонов с буквами . Из него четыре раза извлекают жетон, который после записи буквы возвращают обратно. Какова вероятность, что ни одна буква не повторится дважды?

.

Формула отображения множеств.

Оп. Соответствие, сопоставляющее каждому элементу множества один элемент множества , называется отображением множества во множество : .

Найдем число отображений множества во множество . Каждому отображению множества во множество соответствует кортеж длины , составленный из элементов множеств . Значит, число искомых отображений равно числу таких кортежей, то есть, по правилу произведения равно .

Пример. Шесть различных конфет между тремя детьми можно разделить способами. Так как каждой конфете соответствует только один ребенок (конфеты делить нельзя), то множество конфет отображается на множество детей (а каждому ребенку может соответствовать несколько конфет).

Перестановки без повторения элементов.

Оп. Определенный порядок следования элементов (упорядочивание), заданный на множестве называют его перестановкой.

Если из множества образуется подмножество, содержащее элементов, и при этом не допускается повторение элементов, то от основного множества такое подмножество отличает только порядок следования элементов. Число таких различных подмножеств обозначают .

Оп. Перестановкой без повторения из элементов называют число размещений .

Пример. Шесть человек могут сесть на шесть стульев способами.

Пример. В корзине 5 одинаковых, занумерованных шаров. По одному, наугад извлекают все шары. Какова вероятность, что их номера появятся в возрастающем порядке.

Исходом испытания по извлечению шаров является перестановка множества из пяти элементов без повторений. Число таких перестановок - . Благоприятствует одна - .

.

Сочетания без повторений элементов.

Оп. Неупорядоченные подмножества, по элементов в каждом, составленные из множества, содержащего элементов, называют сочетаниями. Если повторение элементов в подмножествах недопустимо, то число таких подмножеств обозначают .

Из множества мы можем образовать неупорядоченных подмножеств без повторения элементов. Каждое такое подмножество мы можем упорядочить способами. В результате получим упорядоченных подмножеств.

.

Пример. В студенческой группе двадцать человек – шесть юношей и четырнадцать девушек. На некоторое мероприятие случайным образом выбирают группу из пяти человек. Какова вероятность, что в группе будут трое юношей и две девушки?

При испытании осуществляется выбор подмножества, содержащего пять элементов из основного множества, содержащего двадцать элементов. В данном случае не важно, каким по счету был выбран данный человек – важно, что он попал в группу. Следовательно, подмножества неупорядоченные. Общее число таких подмножеств равно . Трех юношей выбираем из имеющихся шести, число подмножеств равно . Каждое из таких подмножеств будем рассматривать как элемент множества M( ). Число аналогичных выборов девушек - . Каждое из таких подмножеств будем рассматривать как элемент множества F( ). Благоприятствующий результат выбора студентов есть кортеж на множествах M и F. По теореме 2 – общее число благоприятствующих исходов (кортежей) находится как .

.

Пример. В партии из деталей имеется стандартных. Наугад отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно стандартных.

.

Перестановки с повторениями элементов.

Оп. Пусть имеется набор элементов , в который элемент входит раз; элемент входит раз и так далее. Можно говорить, что задан набор элементов состава . Упорядочивание элементов такого набора называют перестановкой с повторениями. Число таких перестановок обозначают - .

Если бы все элементы набора были бы различны, то .

Наличие одинаковых элементов уменьшает число различных перестановок в раз, так как перестановки одинаковых элементов не меняют общего порядка в наборе.

. Нетрудно убедится, что .

Пример. Переставляя буквы в слове «математика» можно получить различных порядков следования букв.

Пример. Сколькими способами можно разложить двадцать восемь различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике было по семь предметов.

Числовую ось между числами один и двадцать восемь разделим на четыре равных отрезка – «ящика» . Число различных перестановок на отрезке равно . Но перестановки внутри каждого из четырех отрезков не влияют на состав каждого из четырех ящиков и общее число исходов уменьшается на величину .

Если ящики одинаковы, то полученный результат уменьшается в число раз, равное числу перестановок ящиков - .

Сочетания с повторением элементов.

Оп. Пусть имеются элементы видов, и из них составляется набор, содержащий элементов. Два таких набора считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый состав . Такие наборы элементов назовем сочетаниями с повторениями из элементов по . Число различных сочетаний с повторениями из элементов по обозначается .

Каждый сочетание имеет состав . Закодируем состав, ставя вместо каждого числа соответствующее количество единиц, а вместо запятых – нули. Число нулей составит . Находя различные перестановки нулей и единиц (перестановки набора элементов состава ), будем находить различные составы набора элементов длины , для которых .

.

Пример. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеются четыре сорта пирожных?

Из основного множества, содержащего сколь угодно много элементов четырех различных видов, собирают различные подмножества по семь элементов в каждом с возможностью присутствия одинаковых пирожных. Число различных подмножеств такого вида дает выражение .

Лекция №2. Алгебра событий.

Алгебра событий. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Рассмотренное ранее третье свойство вероятности называется простой теоремой сложения и справедливо для несовместимых СС. Если СС и совместимы, то справедлива следующая теорема.

Т. (расширенная теорема сложения). Вероятность проявления, хотя одного из двух СС равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения.

.

Рассмотрим диаграмму Венна, соответствующую сумме совместимых СС.

На этой диаграмме можно выделить три непересекающиеся области - , которые задают несовместимые события. По третьему свойству вероятности мы можем записать систему:

Из последней формулы получим . Подставляя полученное равенство в первое уравнение системы, получим искомую формулу .

Замечание. Доказанная теорема сводит нахождение вероятности суммы СС к определению вероятности их произведения.

Следствие 1. Вероятность суммы СС находится по формуле , где под выражением понимаются вероятность всех комбинаций произведений СС по одному, по два и т.д. до сомножителей. В частном случае, при имеем:

.

Следствие 2. Для противоположных событий и справедливо равенство: .

Зачастую, для нахождения вероятности удобно использовать формулу .

Оп. Число, выражающее вероятность СС , которое найдено при условии, что известен факт проявления СС - , называется условной вероятностью СС и обозначается или .

Т. (расширенная теорема умножения). Вероятность одновременного наступления двух СС и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: .

Пусть результатом некоторого испытания могут быть равновозможных, несовместимых исходов, из которых благоприятствуют СС , - СС , - произведению СС .

По классическому определению вероятности получим:

.

Следствие. Вероятность одновременного наступления СС можно находить по формуле .

Например, для случая совмещения 3-х с.с.:

Оп. CC и , из одного вероятностного пространства, называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от факта наступления другого: .

Замечание 1. Последнее равенство называется простой теоремой умножения вероятностей независимых СС.

Замечание 2. Последнее равенство наверняка выполняется, если одно из СС невозможно или достоверно.

Замечании 3. В невырожденном случае, если СС не зависит от СС , то и СС не зависит от СС .

Пусть

Замечание 4. Если СС и независимы, то независимы также и ; и ; и .

При доказательстве расширенной теоремы сложения показано, что . Тогда

Замечание 5. В невырожденном случае и независимые СС обязаны быть совместимыми.

Пусть СС несовместимы и независимы, тогда противоречие, следовательно не бывает независимых и несовместимых СС с вероятностями отличными от нуля.

Оп. СС называют независимыми в совокупности, если для любого подмножества этих событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Замечание. Из попарной независимости СС не следует их независимость в совокупности.

Пример. Прибор, работающий в течение времени , состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может выйти из строя. Неисправность одного узла выводит прибор из строя. Вероятность безотказной работы за время : для первого узла - , для второго - , для третьего - .Найти вероятность того, что за время прибор выйдет из строя.

Пусть событие состоит в том, что прибор выйдет из строя, а события состоят в выходе из строя - го узла. .

Другой подход к решению этой задачи состоит в использовании расширенной теоремы сложения.

Пример. В читальном зале шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в твердом переплете. Библиотекарь взял наугад два учебника. Какова вероятность, что один из них в твердом переплете.

Интересующее нас событие обозначим через . Событие - взят первый учебник в твердом переплете, событие - взят второй учебник в твердом переплете. Тогда искомое событие представится в виде суперпозиции событий . СС и несовместимы и, используя простую теорему сложения и расширенную теорему умножения вероятностей, получим:

.

По классическому определению .

Пример. Определить, являются ли зависимыми СС - выбор из колоды игральных карт наугад карты пиковой масти, и СС - выбор наугад туза?

Проведенные расчеты доказывают взаимную независимость СС и . Если в качестве СС рассматривать извлечение пикового туза, то ситуация изменится: CC и становятся зависимыми.

Т. (формула полной вероятности). Пусть СС может произойти только с одним из попарно несовместимых СС (гипотез), образующих полную группу ; . Тогда вероятность любого СС можно найти по формуле:

В силу второго свойства операций над событиями, имеем:

.

Из несовместимости СС следует несовместимость СС . Тогда, вероятность их суммы равна сумме вероятностей по теореме сложения. Вероятность каждого слагаемого находится по расширенной теореме умножения .

Следствие (формула Байеса). Если при выполнении условий предыдущей теоремы, предположить выполнение СС , то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле:

Пример. Железобетонные плиты перекрытия изготовлены на трех заводах: - на первом заводе; - на втором; - на третьем. Для первого завода вероятность выпуска бракованной плиты равна , для второго завода - , для третьего завода - . Какова вероятность брака в случайно выбранной плите перекрытия?

СС состоит в обнаружении брака в случайно взятой плите перекрытия. Плита, по условию задачи, может быть изготовлена только одним из трех заводов. Наличие плиты означает проявление одного из трех несовместимых СС, образующих полную группу: - плита изготовлена первым заводом; - плита изготовлена вторым заводом; - третьим заводом. Эти события могут быть приняты в качестве гипотез.

Пример. По данным предыдущей задачи определить, какова вероятность, что бракованная плита изготовлена на втором заводе. Если плита бракована, то произошло СС из предыдущей задачи. По формуле Байеса получим:

.

Лекция №3. Повторение испытаний.

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа. Формула Пуассона.

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.

Оп. Серия из взаимно-независимых испытаний, в каждом из которых СС проявляется с постоянной вероятностью равной , называется схемой испытаний Бернулли.

Замечание. В классической схеме испытаний Бернулли возможны исходы только двух типов – «успех» (проявление СС ) и «неудача» (не проявление СС ).

Т. (теорема Бернулли). Вероятность того, что в схеме из испытаний Бернулли СС произойдет ровно раз, равна .

Исход каждой серии испытаний представляет собой упорядоченное множество, состоящее из исходов, среди которых встречаются СС и . Пусть СС состоит в том, что в схеме из испытаний Бернулли СС произойдет ровно раз. Тогда СС можно представить как сумму несовместимых событий вида:

, где каждое СС заключается в наступлении в данной серии испытаний СС ровно раз. Благодаря независимости отдельных испытаний для каждого СС . Число СС с различным чередованием СС и равно числу перестановок с повторениями . Тогда искомая вероятность .

Наивероятнейшее число наступления событий.

Если для одной серии испытаний Бернулли рассматривать вероятности как функцию от величины , то можно показать, что сначала вероятность будет возрастать, достигнет максимума и, затем, будет убывать.

Оп. Значение , при котором величина вероятности достигает максимума, называется наиболее вероятной частотой проявления СС в схеме из испытаний Бернулли.

Функция будет возрастать, если:

условия возрастания функции . Далее возможны случаи:

1. Если не целое число, то функция примет максимальное значение при первом целом числе, большем чем : . Существует единственное значение . Если, при условии , выполняется , то является единственным целым число, лежащим между значениями и .

2. . При этом число также является целым. Нетрудно показать, что при . Откуда следует, что и, в рассматриваемом случае, в схеме Бернулли наблюдается две наиболее вероятных частоты и .

Пример. Строительная фирма закупает партию керамической плитки объемом для отделочных работ. Вероятность того, что отдельно взятая плитка будет иметь внутренние дефекты и разрушится в процессе облицовки . Оценить наиболее вероятное количество бракованной плитки в закупленной партии.

Использование в отделочном процессе каждой плитки считаем отдельно взятым независимым испытанием СС, состоящего в ее разрушении. Вероятность разрушения плитки в каждом испытании постоянна и равна . Значит, мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Наиболее вероятное число бракованных плиток мы можем оценить, не прибегая к вычислениям по формуле Бернулли.

Следовательно, .

Пример. Найти вероятность пятисот проявлений герба при тысяче подбрасываний монеты.

Вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании монеты равна . Для рассматриваемой схемы Бернулли

Нахождение численного значения вероятности в данном примере представляет значительные трудности.

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

При больших значениях в схеме испытаний Бернулли вычисление вероятности непосредственно по формуле Бернулли может вызывать затруднения вычислительного характера, связанные с необходимостью нахождения факториалов больших чисел и высоких степеней малых чисел. Для упрощения вычислений используют асимптотическое приближение формулы Бернулли – формулу Муавра – Лапласа.

Т. (локальная теорема Муавра - Лапласа). Если вероятность в схеме испытаний Бернулли отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле:

Функция называется централизованной плотностью нормального распределения вероятностей.

Замечание 1. Доказательство локальной теоремы Муавра – Лапласа будет дано в разделе «Законы больших чисел».

Замечание 2. Значения функции даны в специальных таблицах. Эти значения можно использовать для нахождения значений функции на отрезке , учитывая свойство четности . Функция является монотонно убывающей при . Для интервала значения практически равны нулю: .

Замечание 3. Приближенные значения вероятностей , получаемые при помощи локальной теоремы, используются на практике как точные при значениях .

Пример. Вернемся к решению задачи о монете предыдущего примера.

.

С точки зрения практического опыта, найденная вероятность кажется слишком маленькой! Но не надо забывать, что речь идет о получении в результате конкретного испытания ровно пятисот «успехов». С гораздо большей долей вероятности можно ожидать числа появления успехов, приблизительно равного пятистам.

Т. (интегральная теорема Муавра - Лапласа). Если в схеме испытаний Бернулли , то, при достаточно большом количестве испытаний , вероятность того, что число проявлений СС примет значение из отрезка равна:

Рассмотрим систему СС , где каждое состоит в принятии величиной значения в серии из испытаний схемы Бернулли. Тогда . Поскольку последнюю вероятность раскроем по простой теореме сложения.

.

.

Последнее выражение можно понимать как интегральную сумму для функции . При увеличении числа испытаний, в пределе при , . То есть, для достаточно больших :

.

Замечание 1. Функция называется интегралом Лапласа, обладает свойством нечетности и имеет горизонтальные асимптоты при .

Замечание 2. Значения функции сведены в таблицы.

Замечание 3. В некоторых работах можно встретить выражение для интеграла Лапласа, записанное в виде . Для нее справедливо равенство . Она связана с функцией соотношением .

Пример. Найти вероятность, что при тысяче подбрасываний монеты число появлений герба будет принимать значения в пределах .

.

Для нахождения интеграла Лапласа воспользовались специальной таблицей значений этой функции. Полученный ответ хорошо согласуется с практическим опытом, который подсказывает, что при подбрасывании монеты число выпадений герба должно составлять приблизительно половину исходов.

Пример. Определить, какова вероятность, что абсолютное отклонение значения относительной частоты проявления СС в серии из испытаний от вероятности проявления этого события в однократном испытании не превысит заданного числа .

.