Теория вероятностей.

Лекция №1. Понятие вероятности. Элементы комбинаторики.

Предмет теории вероятностей. Понятие события. Несовместные, достоверные, невозможные, противоположные события. Полная группа событий. Относительная частота и вероятность события. Элементы комбинаторики.

Предмет теории вероятностей. Понятие события.

События, которые происходят в окружающем нас мире можно разделить на две группы:

1. Детерминированные события (не случайные, предопределенные) – к которым относятся достоверные и невозможные события.

2. Стохастические (случайные).

Оп. Испытание – создание совокупности начальных условий, при которых может произойти (или не произойти) интересующее нас событие.

Оп. Достоверным (невозможным) называется событие, которое обязательно произойдет (не произойдет) в результате испытания. Случайное событие (СС) – это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания.

СС будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита .

Оп. Теория вероятностей (ТВ) – раздел высшей математики, в котором изучаются закономерности проявления СС массового характера.

Действия над событиями. Виды событий.

Оп. Суммой СС и будем называть СС , которое состоит в проявлении хотя бы одного из событий слагаемых. Произведением СС и будем называть СС , которое состоит в совместном наступлении событий сомножителей.

Пример. Выпадение четного числа очков на грани игрального кубика при однократном подбрасывании , где .

Выпадение на двух игральных кубиках суммы очков равной двум – СС , где СС состоит в выпадении «1» на грани первого кубика, а СС - в выпадении «1» на грани второго кубика.

Оп. СС называют несовместимыми, если они не могут произойти в одном испытании. Произведение несовместимых СС и равно невозможному событию: .

Пример. Несовместимы при однократном подбрасывании кубика события .

Оп. СС образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий этой группы и никакое другое.

Пример. Полная группа для кубика .

Оп. Два несовместимых события и (не ) называются противоположными, если они образуют полную группу.

Пример. Выпадение и не выпадение шестерки при подбрасывании игрального кубика.

Оп. СС будем называть элементарными, если они не могут быть представлены в виде суммы других событий, которые могут произойти в данном испытании.

Пример. При подбрасывании игрального кубика элементарные события: . СС, состоящее в появлении четного числа очков не является элементарным.

Оп. Пространство элементарных событий - множество, всех элементарных несовместимых СС , которые могут являться результатом данного испытания. может содержать конечное или даже бесконечное множество элементарных событий. Любое подмножество является СС.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом или решкой .

Пример. Бросаются две монеты: .

Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку: .

Замечание. В рамках приведенных выше определений достоверное событие происходит при проявлении любого элементарного события, то есть содержит их все и обозначается . Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается .

Пример. Для игрального кубика достоверное событие состоит в выпадении числа очков не выше шести при однократном подбрасывании. Невозможное – в выпадении «11» очков при однократном подбрасывании.

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна. Пространство будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Первая диаграмма показывает, что сумму двух любых событий можно представить как сумму двух несовместимых событий.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

1. (переместительный закон)

2. (распределительный закон).

3. (сочетательный закон)

4. 

5. 

6. 

7. 

8. - законы де Моргана

Относительная частота и вероятность события.

Оп. Если в серии из одинаковых испытаний СС проявится раз, то величина называется относительной частотой СС , а - частотой СС .

Свойства относительной частоты.

1. , так как .

2. , так как .

3. Если , так как и

На начальном этапе развития ТВ проводились эксперименты по непосредственному определению относительной частоты для различных СС. Было установлено, что относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: с увеличением числа испытаний она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.

Оп. (статистическое определение понятия вероятности). Вероятностью проявления СС в однократном испытании называется число, к которому стремится значение относительной частоты при увеличении числа испытаний : .

Замечание 1. Стремление относительной частоты к вероятности нельзя свести к обычному предельному переходу, который рассматривался в математическом анализе.

Замечание 2. Основным недостатком статистического определения понятия вероятности –

необходимость проведения достаточно большой серии испытаний СС.

В теории вероятностей широко используется другое, эквивалентное предыдущему, определение понятия вероятности – классическое определение. Взаимосвязь между статистическим и классическим определением понятия вероятности можно продемонстрировать не примере решения следующей задачи.

Пример. В корзине из шаров черных, Какова вероятность извлечь наугад черный шар при однократном испытании?

Проведем серию достаточно большого количества испытаний, состоящих в извлечении из корзины наугад шара (число испытаний должно быть настолько большим, чтобы можно было вычислять вероятность СС - появления черного шара, по статистическому определению). Будем фиксировать его цвет и возвращать обратно в корзину. При однократном испытании каждый из шаров имеет равные шансы быть извлеченным из корзины. Если число испытаний значительно больше числа шаров и шары неотличимы друг от друга, то можно утверждать, что каждый из шаров будет извлечен одинаковое число раз. Тогда . И вероятность находится . С точки зрения однократного испытания, число дает число исходов, благоприятствующих проявлению события в однократном испытании. А число дает число всевозможных, равновозможных и несовместимых исходов однократного испытания события .

Оп. (классическое определение понятия вероятности). Вероятность наступления СС в однократном испытании равна отношению числа исходов , благоприятствующих проявлению СС , к числу всевозможных, равновозможных и несовместимых исходов однократного испытания: .

Свойства вероятности.

1. , так как .

2. , так как .

3. Если СС попарно несовместимы, то выполняется равенство .

На диаграмме Венна СС изображаются не перекрывающимися областями. Число элементарных исходов, благоприятствующих проявлению какого-либо из них равно сумме чисел исходов, благоприятствующих проявлению каждого:

Пример. Однократно подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна трем?

Рассмотрим решение задачи при помощи составления “дерева вероятностей”. Этот способ является наглядным методом перебора всевозможных исходов испытания с целью определения числа всевозможных и благоприятствующих исходов.

На рисунке белыми кружочками выделены всевозможные исходы подбрасывания первого кубика . Поскольку число очков, выпавших на первом кубике, никак не влияет на число очком, выпавших на втором, то с каждым исходом подбрасывания первого кубика комбинируются все возможные исходы подбрасывания второго (выделены затемненными кружочками). Считая число кружочков после второго кубика, получим число всевозможных исходов испытания , Жирными линиями выделены пути, приводящие к интересующему нас результату – сумма выпавших очков равна трем. Таких путей два, следовательно . По классическому определению .

Замечание. Классическое определение понятия вероятности неприменимо, если число всевозможных исходов испытания бесконечно; когда нет возможности представить результат испытания в виде совокупности элементарных исходов или нельзя считать эти исходы равновозможными.

Оп. (геометрическое определение понятия вероятности). Пусть задана область с конечной геометрической мерой и ее подобласть с конечной геометрической мерой (в качестве геометрических мер, в зависимости от размерности, могут рассматриваться длина, площадь, объем). Вероятность СС , состоящего в попадании точки, брошенной наугад в область , внутрь ее подобласти равна отношению геометрических мер: .

Замечание 1. Выражение “брошено наугад” означает, что вероятность попадания точки в любую подобласть не зависит от формы или расположения внутри , а зависит лишь от геометрической меры подобласти и пропорциональна этой мере.

Замечание 2. Можно показать, что все три определения понятия вероятности эквивалентны и приводят к одним и тем же значениям вероятности. Какое из определений использовать при решении конкретной задачи решается из соображений удобства. Классическое определение чаще используется в теории вероятностей, статистическое – в математической статистике. При наличии бесконечного количества исходов используют геометрическое определение.