Задачи и упражнения по логико-вероятностному методу расчета надежности систем

Задача 22. В условиях примера 2 определить вероятность пе­редачи информации от верхнего звена до трех нижних.

Задача 23. В условиях примера 2 определить вероятность пе­редачи информации от верхнего звена до двух нижних.

Задача 24. В условиях примера 2 определить вероятность пе­редачи информации от верхнего звена до одного нижнего.

Задача 25. Определить вероят­ность того, что информация прой­дет от верхнего уровня до всех че­тырех конечных (рис. 7.28), если вероятность отказа в передаче ин­формации 0,1.

Задача 26. Рассчитать надеж­ность структуры передачи данных с дополнительными обходными каналами (рис. 7.29), если извест­но, что вероятность отказа в пе­редаче информации по основным каналам (1, 2, 3) равна 0,1, а ве­роятность передачи данных по каждому из обходных каналов (4, 5)-0,8.

Задача 27. Рассчитать надеж­ность структуры с дополнитель­ными обходными каналами и ре­зервированием (рис. 7.30), если все Р = 0,9.

Задача 28. Определить вероят­ность безотказной работы струк­туры с перекрестными связями (рис. 7.31). Устройство работо­способно, если работоспособны любые два из трех входных эле­ментов, а также соответствующие этим работоспособным элементам логические элементы И и ИЛИ. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3 одинаковы и равны 0,2, а ве­роятности работоспособного со­стояния логических элементов равны 0,9.

Задача 29. Рассчитать веро­ятность безотказной работы уст­ройства, структурная схема кото­рого приведена на рис. 7.32, если вероятность безотказной работы каждого устройства равна 0,9.

Примеры решения типовых задач при расчете надежности резервированных восстанавливаемых систем, основанном на составлении графа переходов системы из одного состояния в другое

Изучение вероятностных процессов занимает большое место в анализе и обеспечении надежности сложных объектов, так как их функционирование представляет собой реализацию вероятност­ных процессов. Вероятностным (или случайным) процессом назы­вается случайная функция, аргументом которой является время. Чтобы охарактеризовать вероятностный процесс, необходимо ука­зать тип процесса и его числовые характеристики. Существует большое число различных типов вероятностных процессов. По­скольку функционирование сложных объектов, как правило, со­провождается простейшими потоками отказов и восстановлений (простейшим называется поток, обладающий свойством ординар­ности, стационарности и отсутствием последействия), наиболее подходящим для описания таких процессов является марковский процесс. Кроме того, время работы до отказа и время восстановле­ния имеют экспоненциальное распределение.

Марковский процесс — это процесс, у которого для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в буду­щем зависит только от ее состояния в настоящий момент време­ни и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Характеристику процесса удобно сопровождать гра­фическим изображением (графом состояний и переходов). С его помощью изображаются процессы перехода системы из одного состояния в другое в случайные моменты времени. Граф перехо­дов может быть представлен либо матрицей переходов, либо сис­темой уравнений.

Задача 30. Провести расчет надежности объекта, если он мо­жет находиться в двух состояниях: работоспособном и отказа. Интенсивность перехода в состояние отказа равна λ, в работоспо­собное — μ.

Решение.

1. Составим граф переходов, как показано на рис. 7.33.

2. Запишем систему дифференциальных уравнений:

3. Произведем переход к изображениям Лапласа (табл. 7.2) и определим P₁ (z):

Вероятности P_t(t) определялись из начальных условий: в мо­мент включения все элементы исправны, т. е.

Для приведения выражения P_o(z) к табличному умножим и разделим правую часть на постоянную величину, равную (λ + μ). В результате получим

Таблица 7.2

Переход от функции оригинала к функции изображения