Абстрактное описание процесса функционирования объектов

Если отойти от конкретного содержания процесса функциони­рования технического объекта, то в простейшем случае может быть предложена его математическая модель. В любой произвольный процесс времени t объект может находиться в одном из двух состояний:

Рис.1.3

Процесс функционирования объекта

отказа или работоспо­собности. Обозначим неизвестное текущее состояние объекта в момент времени t через Z(t), состояние отказа через и со­стояние работоспособности че­рез Z. Весь процесс функционирования объекта можно предста­вить чередующейся последовательностью случайных величин (рис. 1.3), где — длительность i-го по счету периода работоспособности, а — длительность периода отказа. Все введенные символы взаимосвязаны следующими соотно­шениями:

(1. 1)

Рассмотрим теперь систему, состоящую из n элементов. Состоя­ние системы в момент времени t определяется состоянием отдель­ных ее элементов в этот момент. Если состояние j-го элемента сис­темы в момент времени t обозначить через (t), то состояние сис­темы можно записать в виде

(1. 2)

Определенным совокупностям состояний элементов соответст­вует состояние исправности системы в целом Z (например, состоя­ние всегда есть состояние исправности для системы). Другим совокупностям состояний элементов соответствует состоя­ние отказа системы в целом .

Рис. 1.4

Схема перехода из одного состояния в другое

Поясним сказанное на примере системы из двух элементов. Всего возможно четыре различных состояния системы, определяе­мых состояниями отдельных элементов:

Рис. 1.5

Последовательное

соединение

элементов

в системе

(1.3)

С течением времени система может перехо­дить из одного состояния в другое (рис. 1.4).

Рассмотрим структуру последовательного со­единения элементов в системе, т. е. такое соеди­нение, в котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы (рис. 1.5). В этом случае Z¹ = Z, а совокупность состояний составит состояние отказа системы .

Рис. 1.6

Параллельное

соединение

элементов

в системе

Для другой характерной структуры — парал­лельного соединения элементов (рис. 1.6) — от­каз наступает лишь при одновременном отказе всех элементов а остальные состояния представляют собой состояние работо­способности системы Z.

Рис. 1.7

Пространство

состояний

системы

Все множество состояний системы принято называть фазовым пространством состояний сис­темы. В общем случае фазовое пространство не обязательно является дискретным. Рассмотрим в качестве примера систему из таких элементов, когда хотя бы один из них характеризуется не­прерывным множеством состояний. Это может произойти, если основной рабочий параметр при­нимает любые значения из некоторого интерва­ла. Пусть j-й элемент характеризуется некоторым значением параметра Y(t) в момент времени t, ко­торое и определяет полностью его состояние в ука­занный момент времени. Тогда состояние систе­мы, состоящей из n таких элементов, будет в мо­мент времени описываться вектором из n-мерного непрерывного пространства

(1. 4)

Простейший случай для системы из двух элементов пространства состояний показан на рис. 1.7. Пусть — область допустимых зна­чений, соответствующих работоспособности системы. Выход из этой области во внешнюю область определяет состояние отказа. Здесь изображено блуждание системы в процес­се функционирования из состояния У_о в состояние отказа Y\, от­куда за счет некоторых восстановительных мероприятий (напри­мер, регулировки или замены элементов) система переведена в ра­ботоспособное состояние. Вне зависимости от того, рассматриваем мы дискретное или непрерывное фазовое пространство при иссле­довании надежности, всегда остается одна существенная сторона этого фазового пространства: она четко подразделяется на состоя­ние двух типов — работоспособности и отказа.

1.3.