Функции нормального распределения ф(z)

Z	0	2	4	6	8
0,00	0,500000	0,500798	0,504596	0,502394	0,503192
0,50	0,691492	0,692166	0,692869	0,693572	0,694273
1,00	0,841345	0,841828	0,842311	0,842792	0,843273
1,50	0,933192	0,933451	0,933709	0,933966	0,934222
2,00	0,977250	0,977358	0,977465	0,977572	0,977678
2,50	0,9937903	0,9938253	0,9938601	0,9938947	0,9939292
3,00	0,9986501	0,9987361	0,9988171	0,9988933	0,9989650
3,50	0,9997673	0,9997842	0,9997994	0,9998146	0,9998282
4,00	0,9999683	0,9999709	0,9999733	0,9999755	0,9999775
4,50	0,9999966	0,9999969	0,9999972	0,9999974	0,9999977
5,00	0,9999971	0,9999974	0,9999977	0,99999979	0,99999981

С учетом (4.95) имеем

(4.103)

Окончательно доверительные границы для математического ожидания определяются из следующих уравнений:

(4.104)

(4.105)

На практике часто интересуются не только двусторонним дове­рительным интервалом, но и нижним односторонним доверитель­ным интервалом На основании формул (4.104)...(4.105) можно получить для определения :

(4.106)

(4.107)

Если задаваться одинаковым числовым коэффициентом до­верия при определении двусторонних доверительных границ и нижней односторонней доверительной границы, т. е. принимать то будет всегда меньше, чем так как

0,5δ₂ - (δ₁ - 0,5) = 0,5(1 - δ) > 0.

Таким образом, при одном и том же риске γ = 1 — δ ошибиться в оценке неизвестного параметра в случае одностороннего дове­рительного интервала нижняя доверительная граница будет рас­полагаться ближе к точечной оценке

При экспоненциальном законе распределения величины Т точ­ное построение доверительного интервала для неизвестного мате­матического ожидания производится по формулам:

(4.108)

(4.109)

где есть Q – процентная - распределения при r = 2n степенях свободы.

Рекомендуемые для решения задачи

Задача 1. Плотность распределения наработки до отказа технических объектов имеет вид

Необходимо получить аналитические выражения для вычисления таких показателей надежности, как вероятность безотказной работы (ВБР), средняя наработка до отказа, параметр потока отказов.

Решение.

Вероятность безотказной работы вычисляется следующим образом.

Средняя наработка до отказа. Для вычисления параметра потока отказов используется уравнение Вольтерра, которое обычно решается с использованием преобразования Лапласа:

Средняя наработка до отказа:

Для вычисления параметра потока отказов используется урав­нение Вольтерра, которое обычно решается с использованием пре­образования Лапласа:

Вычислим f (s):

тогда преобразование Лапласа параметра потока отказов

Для отыскания найдем обратное преобразование Лапласа, предварительно разложив полученную дробь на простые дроби:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 2...44

Формула Бернулли (повторные независимые испытания). Если производится п независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна Р, то вероятность того, что это событие при п опытах произойдет k раз, определяется формулой Бернулли

где q = 1-p — вероятность не наступления события А в каждом испытании (она тоже постоянна).

Вероятность появления события хотя бы один раз при п опытах вычисляется следующим образом:

Вероятность появления события не менее т раз при п опытах вычисляется по формуле

Асимптотическая формула Пуассона. Распределение Пуассо­на, определяющее вероятность появления k событий простейшего потока событий за время t с интенсивностью λ, (λ — среднее число событий, появляющихся в единицу времени), имеет вид

В ряде задач вероятность наступления события р в отдельном испытании очень мала. Если при этом число испытаний п очень велико, то формула Бернулли превращается в асимптотическую формулу Пуассона

Локальная теорема Лапласа. При большом количестве повтор­ных испытаний в формуле Бернулли приходится оперировать очень большими числами. В этом случае удобнее использовать ло­кальную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа. Гораздо чаще на практике возникает необходимость при п независимых испытаниях опре­делить вероятность того, что интересующее нас событие появится не менее k₁ и не более k₂ раз. Значение такой вероятности можно получить с использованием интегральной формулы Лапласа

где

— функция Лапласа, причем Ф(-х) = Ф(х);