Случайные величины, используемые в теории надежности

В теории надежности приходится иметь дело с двумя класса­ми случайных величин — дискретными и непрерывными. Приме­ры дискретных случайных величин: число отказов или число вос­становлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных величин: наработка объекта до отказа, наработка объ­екта между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В со­ответствии с этим рассмотрим два класса распределений: дискрет­ные и непрерывные.

Центральным понятием теории надежности является понятие «отказ», заключающееся в нарушении работоспособного состоя­ния объекта. Хотя сам факт отказа объекта — явление детерми­нированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводят к вероятному ха­рактеру отказов, т. е. отказ объекта может быть вызван разными причинами и иметь различные особенности (см. раздел 1.3). Так как время появления отказа — величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с помощью разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Поэтому здесь целе­сообразно повторить основные положения этих математических методов.

Нарушение условия функционирования ЭА является случай­ным событием, оно возникает как результат большого числа дру­гих событий в системе, и естественно, может произойти или нет. Событие, которое обязательно произойдет, называется достовер­ным, а которое не может произойти — невозможным.

При расчете надежности ЭА необходимо уметь интерпретиро­вать комбинации событий.

Пусть А — некоторое событие. Противоположное ему событие обозначается . События А и В называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает появления другого, т. е.

Если два независимых события А и В возникают одновремен­но, т. е. появление одного из них непременно будет вызывать по­явление другого, то их называют совместными

Допустим, что из п испытуемых аппаратов только m благопри­ятствуют событию А. Отношение называется вероятностью события А. P(A) — безразмерная величина, она служит «ме­рой случайности» событий и обладает следующими свойствами:

1. если А — достоверное событие, то Р(А) = 1;

2. если А — невозможное событие, то Р(А) = 0;

1. если А и В являются несовместимыми событиями, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) или Р(АВ) = 0;

3. если А и B — совместные события, то Р(АВ) = Р(А)Р(В);

4. если А и , то Р(А) = 1-Р( ).

Вероятность совместного появления двух событий А и В равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие на­ступило. Примером наступления взаимосвязанных и совместных событий можно назвать возникновение большой зоны выброса ионизированных газов из ЭА, что приводит к образованию элек­трической дуги между линиями силовой цепи.

К случайным событиям, характеризующим надежность ЭА, следует отнести: отказ работоспособности; полный отказ работо­способности; ложное срабатывание; резервирование и т. д.

Отказ работоспособности — событие, заключающееся в пе­реходе объекта с одного уровня работоспособности на другой, бо­лее низкий. Уровень работоспособности определяется заданными перечнем и объемом функции, который ЭА способен выполнять.

Полный отказ работоспособности — неработоспособное со­стояние.

Ложное срабатывание — срабатывание аппарата при отсут­ствии требования срабатывания данного и других изделий сис­темы.

Резервирование — наличие резервных элементов, которые вклю­чаются только после автоматического отключения отказавших элементов. Так продлевается работоспособность системы.

Количественной оценкой случайного события является случай­ная величина, принимающая в результате опыта то или иное зна­чение. Между случайной величиной и случайным событием суще­ствует тесная связь. За случайную величину можно принять чис­ло однородных случайных событий за определенный промежуток времени. Случайные величины имеют численное значение и под­чиняются тем или иным объективным закономерностям. Основой для их изучения является статистический материал и методы тео­рии вероятностей.

К случайным величинам в аппаратостроении относятся: нара­ботка до отказа, время отказной работы, износостойкость и т. д.

Случайной величиной на вероятном пространстве на­зывается измеримая функция, определенная на Ω, т. е. неко­торая функция элементарного события .

Вероятностным пространством (полем вероятностей) называется совокупность трех объектов — пространства элемен­тарных событий Ω, σ-алгебры событий и вероятной меры Р(А).

Пространство элементарных событий Ω — произвольное множе­ство, элементы которого (элементарные события) будем обозначать буквой ω. Событие Е называется элементарным, если для всякого события А случайного эксперимента оно влечет либо А, либо . Непустое множество событий, которое удовлетворяет условиям:

1. если

2. если называется алгеброй событий.

Если алгебра событий такова, что с каждой бесконечной по­следовательностью событий она содержит и сумму событий и произведение событий то такая алгебра называется σ-алгеброй. Событие , состоит в том, что из последовательно­сти событий , происходит, по крайней мере, одно, а событие — в том, что происходят все события одновременно. Ме­рой на σ-алгебре подмножеств ψ называется неотрицательная счет­но-аддитивная функция Р(А) множества, т. е. такая функция, для которой

(4.12)

для всякой последовательности попарно непересекающихся множеств из ψ Другими словами, числовая функция определенная на ψ и обладающая свойствами (1.1) и для произвольной последовательности попарно несовместимых со­бытий 1, 2, ... ( при ), называется вероятностью. Следовательно, функция является мерой, заданной на ψ и удовлетворяющей условию нормировки (вероятностной мерой). Пара объектов — некоторое множество Ω и некоторая σ-алгебра его подмножеств ψ — называется измеримым пространством Таким образом, вероятностное пространство — это измеримое пространство с нормированной мерой на нем. Случайная величина полностью определена, если известен исход эксперимента ω. Обычно случайные величины обозначают ξ вместо ξ(ω), не указывая на зависимость от элементарного события.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее функция распределения. Для задания распределения величины достаточно задать функцию

(4.13)

которая называется функцией распределения величины и является одномерной функцией распределения. Иначе интегральным законом распределения. Если — дискретная величина, для которой то

где , если х > 0; , если х < 0. Говорят, что ξ, имеет непрерывное распределение, если — непрерывная функция. Величина ξ, имеет непрерывное распределение, если существует такая функция , что

(4.14)

Функция , удовлетворяющая соотношению (4.14), назы­вается плотностью распределения величины ξ. Плотность удовлетворяет следующим очевидным условиям:

(4.15)

(4.16)

В частности, интенсивность отказов ЭА λ(t) в течение эксплуа­тации является плотностью распределения вероятностей. Тогда среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа)

Пользуясь понятием функции распределения и плотности ве­роятности, можно дать определение непрерывной случайной ве­личины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функ­ция распределения непрерывна на всей числовой оси, а плотность распределения существует и непрерывна всюду.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы

Случайные величины			—		—
Вероятности			—		—

Иногда удобно изображать закон распределения графически. На дискретной системе координат по оси абсцисс откладываем зна­чения случайной величины, по оси ординат — соответствующее ей значение вероятности. Соединяя точки, получаем ломаную кри­вую, которая называется многоугольником распределения.

Пример 1. Проводятся испытания 6 контакторов на комму­тационную износостойкость. Вероятность отказа каждого кон­тактора равновелика. Тогда за­кон распределения имеет вид

	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Рис. 4.4