Основные логические операции

Отрицание высказывания А обозначается символом А' (не А). Значение истинности высказывания А определяется таблицей:

Таким образом, отрицанием высказывания А является слож­ное высказывание А', которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Конъюнкция, или логическое умножение, высказываний Л и В обозначается символом А и В (иногда А ˄ В, АВ). Значение истин­ности логического произведения А & В определяется в зависимо­сти от значений истинности высказываний А и В по следующей таблице:

0 ˄ 0 = 0 0 ˄ 1 = 0 1 ˄ 0 = 0 1 ˄ 1 = 1

Конъюнкция А ˄ В двух высказываний представляет собой сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны составляющие его высказывания А и В.

Дизъюнкция, или логическое сложение, двух высказываний А и В обозначается символом

А ˅ В (читается А или В). Значение ис­тинности логической суммы А ˅ В в зависимости от значений опре­деляется по таблице:

0 ˅ 0 = 0 0 ˅ 1 = 1 1 ˅ 0 = 1 1 ˅ 1 = 1

Дизъюнкция двух высказываний А и В является сложным вы­сказыванием, которое ложно тогда и только тогда, когда оба сла­гаемых А и В ложны.

Приведенные выше логические операции не являются незави­симыми и могут выражаться друг через друга. Преобразования логических выражений выполняются по определенным правилам.

Правила для одной переменной:

1. ; 2.

З. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10. .

Правила (1)...(10) легко доказываются простой подстановкой вместо А 1 и 0.

Как следствие из правил (3) и (7) имеем

В отличие от обычной алгебры, в алгебре логики «умножение переменной самой на себя» или «приведение подобных членов» осуществляется согласно перечисленным тождествам без появления каких бы то ни было показателей степени или коэффициентов.

Правила для двух и трех переменных:

11.

12. а также переместительный (или коммутативный) закон.

Функции конъюнкции и дизъюнкции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам операций умножения и сложения. Легко убедиться в том, что для этих функций имеет место сочетатель­ный (или ассоциативный) закон:

13.

1А. .

Правила (11)...(14) выражают свойства конъюнкций и дизъ­юнкций, взятых в отдельности.

В силу справедливости для логического умножения и сложе­ния сочетательного и переместительного законов выражения, в которые входят конъюнкции и дизъюнкции, можно писать без скобок. При этом принимают соглашение считать связь с помо­щью знака ˄ (&) более тесной, чем ˅. Тем самым в алгебре логики устанавливается правило записи выражений, аналогичное приня­тому в обычной алгебре (в процессе вычислений « старшие » дейст­вия выполняются раньше « младших »). Это соглашение позволяет вместо писать

Рассмотрим правила, выражающие связь между операциями логического умножения и сложения, взятыми совместно. Моле­но доказать, что для этих функций имеет место распределитель­ный (или дистрибутивный) закон конъюнкции относительно дизъюнкции:

15.

и распределительный закон дизъюнкции относительно конъюнкции:

16.

который в обычной алгебре не имеет места. Действительно,

Необходимо заметить, что все три названных закона обладают симметрией в том смысле, что из любого закона для дизъюнкции (конъюнкции) можно получить путем замены знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции и знаков конъюнкции на знаки дизъюнк­ции соответствующий закон для конъюнкции (дизъюнкции). Дей­ствительно, взяв, например, выражение

и произведя замену знаков, получим

Следующий закон, известный в литературе под названием за­кона двойственности или инверсий, позволяет заменять отрица­ние конъюнкции дизъюнкцией отрицаний и отрицание дизъюнк­ции конъюнкцией отрицаний:

17. ;

18. 

Если к правилам (17) и (18) применить правило (9), то получим

19. 20.

Правила (19). ..(20), названные в честь одного из основополож­ников математической логики английского ученого де Моргана формулами де Моргана, позволяют логическое умножение выра­жать через отрицание логической суммы из инверсных высказы­ваний, а логическую сумму — через отрицание логического про­изведения из инверсных высказываний. Формулы (19)...(20) лег­ко обобщаются на произвольное число логических переменных:

где логические переменные обозначены х с различными индекса­ми 1(1 е [1, п]), а знаки конъюнкций и дизъюнкций использованы аналогично знакам произведения П и суммы 2, применяемым в обычной алгебре.

На основании четырех рассмотрен­ных выше законов можно установить ряд других полезных отношений, по­зволяющих существенно упростить сложные логические выражения.

Познакомимся с операциями по­глощения и склеивания.

Операция поглощения определя­ется соотношениями

21. 22. Используя терминологию теории множеств, будем говорить, что подмножеством А поглощается множеством B, если A⊂ B (рис. 3.1).

Как следует из (21)...(22) в первом случае (А ˄ В) ⊂ A, а во вто­ром— . На рис. 3.1, иллюстрирующем (21)...(22), по­глощаемые подмножества заштрихованы, а поглощающие множе­ства выделены контуром.

Операция склеивания определяется соотношениями

23. 

24. 

где использована запись операции логического умножения без зна­ка конъюнкции.

Графическая иллюстрация соотношений (23)...(24) дана на рис. 3.2, 3.3.

Упростим теперь выражение А ˄ (А' ˅ В). На основании распре­делительного закона конъюнкции относительно дизъюнкции (15) имеем

По правилу (4) А ˄ А' = 0, следовательно,

Используя правило (6), окончательно получаем

23. 

Аналогично

26.

Остановимся на ряде определений и обозначений, которые по­требуются в процессе изучения курса.

Рассмотрим степень аргумента , которую обозначим , где — двоичная переменная величина. Положим, что

Условимся переменные и их отрицания ' (i = 1,2,..., п) называть буквами, а i — номером или индексом переменной.

Определение 1. Выражение вида называется эле­ментарной конъюнкцией (К) ранга r. В силу того, что и все буквы в элементарной конъюнкции различны.

Определение 2. Выражение вида

где — элементарные конъюнкции различных рангов, называ­ется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Например, функция

записана в ДНФ, так как все три слагаемых являются элементар­ными конъюнкциями.

Определение 3. Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен п, то такая ДНФ называется совершенной ДНФ (СДНФ), а конъюнкции — членами СДНФ или конституентами единицы.

Любая функция алгебры логики (ФАЛ) может быть записана в СДНФ в виде

где — член СДНФ с j-м номером, и суммирование ведется по всем наборам, на которых функция равна единице.

Определение 4. Выражение вида называет­ся элементарной дизъюнкцией (D) ранга r.

Определение 5. Выражение вида

где — элементарные дизъюнкции различных рангов, называ­ется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Определение 6. Если функция записана в КНФ и ранг каждой элементарной дизъюнкции равен п, то такая КНФ называется совершенной КНФ (СКНФ), а дизъюнкции — члена­ми СКНФ или конституентами нуля.

Любая ФАЛ может быть записана в СКНФ в виде

где — член СКНФ с j-м номером и произведение ведется по всем наборам, на которых функция равна нулю.

Определение 7. Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно нулю. Например, произведение элементарных конъюнкций и равно нулю, так как одна из них содержит , а другая — .

Определение 8. ДНФ называется ортогональной ДНФ (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны. В соответствии с этим определением СДНФ является ОДНФ, так как все ее члены попар­но ортогональны. Но СДНФ является самой неэкономной из всех ОДНФ, так как она содержит максимальное количество букв.

Определение 9. Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой все буквы имеют разные номера. Буквы и имеют один и тот же номер, поэтому они не могут одновременно входить в БДНФ.

Определение 10. Бесповторной формой ФАЛ называется такая форма, в которой все буквы имеют разные номера. Частным случа­ем бесиовторной формы ФАЛ является БДНФ. Например, функция

записана в бесповторной форме, так как все буквы имеют разные номера.

Функции алгебры логики могут быть представлены в таблич­ной форме, в виде аналитической записи в строку, а также в виде логических матриц. В частности, логические матрицы конъюнк­ции для записи логических уравнений представляются в виде ло­гических символов в строке, а дизъюнкции — их расположением в столбце.

К логическим матрицам применимы все преобразования алгеб­ры логики. Так, переместительный закон конъюнкции допускает перестановку логических символов в строке, а переместительный закон дизъюнкции — в столбце.

Пусть функции алгебры логики имеют вид

(3.1)

В матричной форме (3.1) может быть представлено в виде

(3.2)

Вторая матрица (3.2) записана в ДНФ.

При приведении к нормальной форме логические матрицы упро­щаются. Например, используя распределительный закон конъ­юнкции, получаем выражение

(3.3)

Применяя закон инверсии, находим

(3.4)

Как видно из формулы (3.4), инверсия логических матриц осу­ществляется заменой конъюнктивных связей логических симво­лов в строке на дизъюнктивные связи отрицания этих символов, располагаемых в столбце, а дизъюнктивных связей между стро­ками — на конъюнктивные связи между столбцами, образован­ными из этих строк. Подробней с элементами математической логики можно ознакомится, прочитав [26].