Сопостовление законов математической логики и теории множеств

Законы алгебры логики аналогичны законам для теоретико-множественных операций. Если считать, что прописные латин­ские буквы означают подмножества некоторого универсального (унитарного) множества, и если заменить конъюнкцию ˄ на пере­сечение ⋂, дизъюнкцию ˅ — на объединение ⋃, отрицание ¬ — на дополнение, I — на универсальное, а 0 — на пустое множество, то будут выполняться все законы.

Алгебра множеств есть лишь другая интерпретация булевой алгебры. Покажем, что булевым функциям можно сопоставить не­которые конечные множества объектов так, что конъюнкция, дизъ­юнкция и отрицание будут соответствовать для сопоставляемых множеств действиям пересечения, объединения и дополнения. Рас­смотрим для определенности булевы функции от п переменных. Также введем в качестве универсального множе­ства I множество всех булевых векторов (кортежей), т. е. множе­ство всех последовательностей длины n, составлен­ных из букв И, Л. Множество I содержит элементов. Теперь каждой булевой функции можно сопоставить не­которое подмножество F' множества I, а именно множество буле­вых векторов. То есть для всех элементов дополне­ния ' множества F', = Л и тем самым булева функ­ция однозначно определяется множеством F'. Множество F' называется множеством истинности функции F. Функции, принимающей для всевозможных значений аргумен­тов значение И (тождественно-истинной функции И), соответст­вует все множество I, а функции, тождественно-равной Л (тож­дественно-ложной функции), отвечает пустое множество ϕ.

Пример. Пусть и — функции, заданные таб­лицей

И	И	И	Л
И	Л	И	И
Л	И	Л	И
Л	Л	Л	Л

Области истинности и будут тогда соответ­ственно F' = {(И, И), (И, Л)} и G' = {(И, Л), (Л, И)}.

Теперь нетрудно уяснить, хотя бы на приведенных примерах, соответствие между связками ˅, ˄, ¬, с одной стороны, и теорети­ко-множественными операциями — с другой. А именно, если об­ласти истинности функций и суть соответственно F' и G', то области истинности

будут F' ⋂ G'; F' ⋃ G'; '.

Например, работоспособность ряда аппаратов зависит от рабо­ты электромагнитного привода. Использование в электромагнит­ных системах форсированного управления снижает надежность ЭА. Система форсированного управления содержит как минимум две обмотки: пусковую и удерживающую. Отказы могут произойти из-за наличия в схеме форсированного управления вспомогатель­ных контактов, коммутирующих большие токи; из-за влияния короткозамкнутых витков, которые возникают под действием переменных электродинамических усилий; из-за некачественно­го соединения пластин магнитопровода; из-за увеличения рабоче­го зазора электромагнита, возникающего в процессе работы.

3.5.