Элементы теории множеств

Множество является одним из основных понятий математи­ки. Оно вводит в рассмотрение новый объект, отличный от исход­ных, обладающих рядом специфических свойств. Для отношения принадлежности пользуются символом .

Выражение а А означает утверждение «Объект а принадле­жит множеству А».

Для любых объектов множество этих объектов обо­значается через

(2.1)

где а {а} — истинное утверждение; {а} а — ложное утверж­дение.

Другая форма обозначения состоит в указании общего свойст­ва объектов, из которых образуется множество. Оно имеет вид

(2.2)

и читается так: «Множество всех х таких, что Р(х), где Р означает свойство, характеризующее в точности все элементы данного мно­жества». Например, партия ЭА одной и той же структуры, т.е. серии, является множеством М.

Два множества считаются равными тогда и только тогда, ко­гда они состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим кратко простые теоретико-множественные поня­тия и операции: пересечение, объединение, дополнение, декарто­во произведение и др.

Пустое множество — ϕ:

(2.3)

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Отношение между множеством М и любым его под­множеством N называется включением и обозначается символом М ⊇ N или N ⊆ M.

При испытании на надежность выпущенной партии ЭА од­ной структуры, представляющей множество М, делается выбор­ка. Произвольно из партии выбираются несколько изделий и про­водятся испытания. Выборка изделий будет являться подмноже­ством N.

Отметим следующие элементарные утверждения о поняти­ях подмножества и включения, прямо вытекающие из опреде­ления:

1. Каждое множество М является подмножеством самого се­бя — М ⊆ M. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М. Соот­ветствующее включение называется собственным и обозначается ⊃ или ⊂: М ⊃ N или N ⊂ M.

Принято считать, что пустое множество ϕ является подмноже­ством любого множества М.

2. Отношение включения транзитивно, т. е. из N ⊆ М и Р ⊆ N следует Р ⊆ М. Транзитивно также отношение собственного вклю­чения.

3. Очень важно не смешивать отношение принадлежности ∈ и включения ⊆: если {а} ⊆ М, то а ∈ М, и наоборот, но из {а} ⊆ М не следует {а} ∈ М.

Пример. Пустое множество ϕ не имеет элементов х ∉ М для любого объекта х. Между тем ϕ содержит одно подмножество, а именно само себя.

2.3.

Основные операции с множествами

Нетрудно убедиться, что операции пересечения, соединения и дополнения обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность (переместительный закон) — свойство сло­жения и умножения чисел, выраженное тождеством а + b = b + а, ab = ba. Векторное умножение не является коммутативным. Для опе­раций логическая коммутативность выглядит следующим образом:

(2.4)

2. Ассоциативность (сочетательный закон, свойство сложения и умножения чисел, выраженное тождествами (а + b) + с = а + (b + с) и (ab)c = а(bс), скалярное, но не векторное (матрицы, век­торы — ). Применительно к множествам:

(2.5)

3. Дистрибутивность (распределительный закон, свойство сло­жения и умножения, с(а + b) = са + cb, F(xy) = F(x)F(y), = . Оператор возведения в степень дистрибутивен относительно опе­рации возведения в степень:

(2.6)

4. Идемпотентность:

(2.7)

5. Закон двойного отрицания:

6. Правило де Моргана:

(2.9)

7. Закон логического противоречия:

(2.10)

8. Закон исключенного третьего:

(2.11)

где X — унитарное множество.

9. Операция с унитарным множеством X и пустым множест­вом ϕ:

(2.12)

2.4.

ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ПРОВЕРКИ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ

Формулы алгебры множеств могут быть проверены с помощью карт Карно [23] и диаграмм Венна, этот способ рассмотрим ниже. Множества, за исключением полного множества, будем обозначать с помощью кругов. Когда имеем дело с двумя множествами А, В, рисуем два пересекающихся круга, из которых один символизирует множество А, а другой — В, получая тем самым диаграмму (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Два пересекаю­щихся множества

Произведение АВ символизируется частью плоскости 1, разность А- В — частью плоско­сти 2, а сумма А + В — частью плоскости, обра­зованной 1 ...3.

Для символического представления дополнения множества вводим

Рис. 2.2

Множество А'

дополняет множество А

прямоугольник Q, соответствующий полному множеству. Помещая в этом прямоугольнике круг, символизирующий мно­жество А, получаем диаграмму, где часть пря­моугольника, находящаяся вне круга, соот­ветствующего множеству А, символически представляет дополнение этого множества, т. е. множество А' (рис. 2.2).

Множество А содержится в множестве В тогда и только тогда, когда часть плоскости, символизирующая А, находится в части плос­кости, символизирующей В, или же совпада­ет с последней.

Имея в виду сказанное, легко по рис. 2.1 прочитать следую­щие формулы:

— соответствует закону коммутативности;

Множество А равно множеству й тогда и только тогда, когда плоскость, символизирующая множество А, совмещается с плос­костью, символизирующей множество В, и наоборот. Поэтому (рис. 2.2) очевидно, что верны формулы:

Выражение

проверяем, нарисовав диаграмму (рис. 2.3) и заштриховав на ней сначала часть плоскости, символизирующую множество A U В ⋂ С, а затем часть плоскости, символизирующую (A ⋃ В) ⋂(A U С).

Для левой части проверяемого равенства получаем диаграмму (рис. 2.4), где заштрихованная часть плоскости символизирует множество A U В ⋂ С.

Для правой стороны этого равенства (A U В) ⋂ (A U С) получаем диаграмму на рис. 2.5.

Часть плоскости, заштрихованная горизонтальными черточка­ми, символизирует здесь множество A U В, вертикальными — мно­жество А + С, их общая часть, заштрихованная дважды, символи­чески представляет произведение (A U В) ⋂ (A U С). Так как части плоскости, символизирующие множества А ⋃ В ⋂ С и (А + В)(А + С), совпадают, то эти множества равны, а потому проверяемое выраже­ние истинно.

(Непрерывные линии используются для обозначения пустого множества: так отмечена, например, истинность выражения А ⊂ В на диаграмме рис. 2.1.)

В силу приведенных выше разъяснений вы­ражение A ⊂ В истинно тогда и только тогда, когда часть плоскости, символизирующая мно­жество А, находится в части плоскости, симво­лизирующей множество В (или совпадает с этой последней частью плоскости). Что имеет место тогда и только тогда, когда множество А- В, символически представляемое частью 2 плоско­сти, пусто.

Таким образом, истинность выражения А ⊂ В иллюстрируем с помощью диаграммы на рис. 2.6, а выражения A ⊄ В — на рис. 2.7.

С помощью диаграммы Венна можно анали­зировать выражения, содержащие четыре пе­ременные, тогда строятся четыре пересекаю­щиеся окружности. Такая диаграмма в качест­ве обобщения графического метода проверки была выполнена профессором Лушчевской-Романовой [21].

2.5.